गणित में, कौशी-आयलर समीकरण (इसे आयलर-कौशी समीकरण और साधरणतया आयलर समीकरण के रूप में भी जाना जाता है।) चर गुणांक सहित रैखिकसमघातसाधारण अवकल समीकरण है। कभी कभी इसे समविमीय समीकरण के के रूप में भी निर्दिष्ट किया जाता है। इसकी साधारण सरंचना के कारण इस समीकरण को नियत गुणांकों के साथ तुल्य समीकरण से प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसे स्पष्टतया हल किया जा सकता है।
माना y(n)(x) अज्ञात फलन y(x) का n वाँ अवकलज है। तब n कोटि की कौशी-आयलर समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होती है
रखने पर उपरोक्त समीकरण नियत गुणांक वाली रैखिक अवकल समीकरण के रूप में प्राप्त होती है। वैकल्पिक रूप से आधार हल के रूप में परीक्षार्थ हल ले सकते हैं।[1]
परीक्षण हल के माध्यम से द्वितीय कोटि हलसंपादित करें
सामान्य कौशी-आयलर समीकरण द्वितीय कोटि की समीकरण है, जो भौतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी के विभिन्न अनुप्रयोगों में प्रयुक्त होती है, जैसे ध्रुवीय निर्देशांकों में लाप्लास समीकरण को हल करते समय। यह निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है :[1]
xα एक हल होने के लिए आवश्यक है कि या तो x = 0, जो साधारण हल देता है या xα का गुणांक शून्य है। द्विघात समीकरण को हल करने पर हमें α = 1, 3 प्राप्त होता है। अतः व्यापक हल निम्न होगा
यहां कौशी-आयलर समीकरण के सदृश्य अन्तर समीकरण है। किसी स्थिर m > 0, के लिए एक अनुक्रम ƒm(n) इस प्रकार परिभाषित कारते हैं
पर अन्तर संकारक लागू करने पर
इसे k बार दोहराने पर
जहाँ superscript (k) अन्तर संकारक के k बार दोहराव को प्रदर्शित करता है। इसकी तुलना xm के k वें अवकलज से तुलना करने पर
suggests that we can solve the N-th order difference equation
in a similar manner to the differential equation case. Indeed, substituting the trial solution
brings us to the same situation as the differential equation case,
One may now proceed as in the differential equation case, since the general solution of an N-th order linear difference equation is also the linear combination of N linearly independent solutions. Applying reduction of order in case of a multiple root m1 will yield expressions involving a discrete version of ln,
(Compare with: )
In cases where fractions become involved, one may use
instead (or simply use it in all cases), which coincides with the definition before for integer m.