रैखिक बीजगणित में क्रैमर-नियम (Cramer's rule) रैखिक समीकरण निकाय का हल निकालने की एक प्रत्यक्ष विधि (direct method) है। यह विधि गुणांक मैट्रिक्स के डिटरमिनैण्ट तथा गुणांक मैट्रिक्स के एक परिवर्तित रूप के सारणिक के रूप में व्यक्त करती है। यह विधि तभी वैध है जब निकाय का अनन्य (यूनिक) हल सम्भव हो। इस नियम का नाम गैब्रिएल क्रैमर (Gabriel Cramer (1704–1752)) के नाम पर पड़ा है जिसने 1750 में इसे प्रतिपादित किया था।
दो तथा तीन चरों के लिए सूत्र
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२ अज्ञात राशि वाले २ रैखिक समीकरणों का निकाय
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माना दो अज्ञात राशि से युक्त दो रैखिक समीकरण ये हैं:
{
a
x
+
b
y
=
e
c
x
+
d
y
=
f
{\displaystyle {\begin{cases}a{\color {blue}x}+b{\color {blue}y}={\color {red}e}\\c{\color {blue}x}+d{\color {blue}y}={\color {red}f}\end{cases}}}
इनका मैट्रिक्स निरूपण यह है:
[
a
b
c
d
]
[
x
y
]
=
[
e
f
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}}
क्रैमर का नियम लगाकर
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
=
|
e
b
f
d
|
|
a
b
c
d
|
=
e
d
−
b
f
a
d
−
b
c
;
y
=
|
a
e
c
f
|
|
a
b
c
d
|
=
a
f
−
e
c
a
d
−
b
c
{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {red}e}d-b{\color {red}f}}{ad-bc}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {a{\color {red}f}-{\color {red}e}c}{ad-bc}}}
3
x
+
1
y
=
9
{\displaystyle 3x+1y=9\,}
2
x
+
3
y
=
13
{\displaystyle 2x+3y=13\,}
इनको मैट्रिक्स रूप में लिखने पर:
[
3
1
2
3
]
[
x
y
]
=
[
9
13
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9\\13\end{bmatrix}}}
क्रैमर नियम से x और y का मान यह है:
x
=
|
9
1
13
3
|
|
3
1
2
3
|
=
9
∗
3
−
1
∗
13
3
∗
3
−
1
∗
2
=
2
{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}9&1\\13&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9*3-1*13 \over 3*3-1*2}=2}
y
=
|
3
9
2
13
|
|
3
1
2
3
|
=
3
∗
13
−
9
∗
2
3
∗
3
−
1
∗
2
=
3
{\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}3&9\\2&13\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3*13-9*2 \over 3*3-1*2}=3}
माना मैट्रिक्स रूप में निरूपित 3x3 रैखिक समीकरण निकाय यह है:
{
a
x
+
b
y
+
c
z
=
j
d
x
+
e
y
+
f
z
=
k
g
x
+
h
y
+
i
z
=
l
{\displaystyle {\begin{cases}a{\color {blue}x}+b{\color {blue}y}+c{\color {blue}z}={\color {black}j}\\d{\color {blue}x}+e{\color {blue}y}+f{\color {blue}z}={\color {black}k}\\g{\color {blue}x}+h{\color {blue}y}+i{\color {blue}z}={\color {black}l}\end{cases}}}
इसका हल यह है:
[
a
b
c
d
e
f
g
h
i
]
[
x
y
z
]
=
[
j
k
l
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\\{\color {blue}z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
x
=
|
j
b
c
k
e
f
l
h
i
|
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
;
y
=
|
a
j
c
d
k
f
g
l
i
|
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
,
z
=
|
a
b
j
d
e
k
g
h
l
|
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}
3
x
+
2
y
+
1
z
=
1
{\displaystyle 3x+2y+1z=1\,}
2
x
+
0
y
+
1
z
=
2
{\displaystyle 2x+0y+1z=2\,}
−
1
x
+
1
y
+
2
z
=
4
{\displaystyle -1x+1y+2z=4\,}
मैट्रिक्स रूप में लिखने पर:
[
3
2
1
2
0
1
−
1
1
2
]
[
x
y
z
]
=
[
1
2
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2&1\\2&0&1\\-1&1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix}}}
x
,
y
y
z
{\displaystyle x,y{\text{ y }}z}
x
=
|
1
2
1
2
0
1
4
1
2
|
|
3
2
1
2
0
1
−
1
1
2
|
;
y
=
|
3
1
1
2
2
1
−
1
4
2
|
|
3
2
1
2
0
1
−
1
1
2
|
;
z
=
|
3
2
1
2
0
2
−
1
1
4
|
|
3
2
1
2
0
1
−
1
1
2
|
{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}1&2&1\\2&0&1\\4&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2&1\\2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}3&1&1\\2&2&1\\-1&4&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2&1\\2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}};\quad z={\frac {\begin{vmatrix}3&2&1\\2&0&2\\-1&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2&1\\2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}}}
x
=
(
x
1
⋮
x
n
)
b
=
(
b
1
⋮
b
n
)
{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}
A
j
=
[
a
1
,
1
⋯
a
1
,
j
−
1
b
1
a
1
,
j
+
1
⋯
a
1
,
n
a
2
,
1
⋯
a
2
,
j
−
1
b
2
a
2
,
j
+
1
⋯
a
2
,
n
⋮
⋱
⋮
a
n
−
1
,
1
⋯
a
n
−
1
,
j
−
1
b
n
−
1
a
n
−
1
,
j
+
1
⋯
a
n
−
1
,
n
a
n
,
1
⋯
a
n
,
j
−
1
b
n
a
n
,
j
+
1
⋯
a
n
,
n
]
{\displaystyle \mathbf {A} _{j}=\left[{\begin{array}{llllllll}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,j-1}&b_{2}&a_{2,j+1}&\cdots &a_{2,n}\\\\\vdots &&&\ddots &&&\vdots \\\\a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,j-1}&b_{n-1}&a_{n-1,j+1}&\cdots &a_{n-1,n}\\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{n,n}\end{array}}\right]}
मैट्रिक्स गुणन के गुण से,
A
x
=
b
⇔
A
−
1
A
x
=
A
−
1
b
⇔
I
x
=
A
−
1
b
⇔
x
=
A
−
1
b
{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} \Leftrightarrow \mathbf {Ix} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} \Leftrightarrow \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }
अतः
x
=
A
−
1
b
=
(
Adj
A
)
t
|
A
|
b
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ={\frac {(\operatorname {Adj} \mathbf {A} )^{t}}{\left|\mathbf {A} \right|}}\;\mathbf {b} }
(
Adj
A
)
t
=
A
p
l
′
A
p
l
′
=
A
l
p
{\displaystyle (\operatorname {Adj} \mathbf {A} )^{t}={\frac {\mathbf {A} _{pl}^{\prime }}{\mathbf {A} _{pl}^{\prime }}}=\mathbf {A} _{lp}}
इसलिए:
A
−
1
b
=
∑
i
=
1
n
A
j
i
′
|
A
|
b
i
k
=
∑
i
=
1
n
A
i
j
b
i
|
A
|
=
|
A
j
|
|
A
|
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathbf {A} _{ji}^{\prime }}{\left|\mathbf {A} \right|}}b_{ik}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{ij}b_{i}}{\left|\mathbf {A} \right|}}={\cfrac {\left|\mathbf {A} _{j}\right|}{\left|\mathbf {A} \right|}}}
![{\displaystyle \mathbf {A} _{j}=\left[{\begin{array}{llllllll}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,j-1}&b_{2}&a_{2,j+1}&\cdots &a_{2,n}\\\\\vdots &&&\ddots &&&\vdots \\\\a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,j-1}&b_{n-1}&a_{n-1,j+1}&\cdots &a_{n-1,n}\\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{n,n}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5805b695ed51423b97f058e8298ea58f3ee624)
