सदस्य:NivedRajeev/प्रयोगपृष्ठ/4444

ब्रोनियन प्रवेग और अप्रत्याशित कलन

       स्टोकेस्टिक कैलकुलस अथवा स्टोकेस्टिक कलन गणित की एक ऐसी शाखा हैं जो स्टोकेस्टिक या अप्रत्याशित प्रक्रियों को गौर से पढ़ते हैं | स्टोकेस्टिक कैलकुलस के द्वारा हम जटिल अप्रत्याशित एकीकरण अथवा इंटीग्रेशन के समाधान ललित मार्ग से ढूंड सकते हैं और बेहतरीन अप्रत्याशित गणित मॉडलों को बना सकते हैं |
       

परिचय

       स्टोकेस्टिक कलन भी साधारण कलन की तरह गणित का प्रमुख क्षेत्र है जिसमें राशियों के परिवर्तन का गणितीय अध्ययन किया जाता है। कलन गणित का प्रमुख क्षेत्र है जिसमें राशियों के परिवर्तन का गणितीय अध्ययन किया जाता है। इसकी दो मुख्य शाखाएँ हैं- अवकल गणित (डिफरेंशियल कैल्कुलस) तथा समाकलन गणित (इटीग्रल कैलकुलस)। कैलकुलस के ये दोनों शाखाएँ कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा परस्पर सम्बन्धित हैं।

विशेष

       वर्तमान समय में विज्ञान,इंजीनियरी, अर्थशास्त्र आदि के क्षेत्र में कैल्कुलस का उपयोग किया जाता है। भारत में कैल्कुलस से सम्बन्धित कई कॉन्सेप्ट १४वीं शताब्दी में ही विकसित हो गये थे। किन्तु परम्परागत रूप से यही मान्यता है कि कैलकुलस का प्रयोग 17वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में आरंभ हुआ तथा आइजक न्यूटन तथा लैब्नीज इसके जनक थे। चंद्र ग्रहण का एक सटीक मानचित्र विकसित करने के दौरान आर्यभट्ट को इनफाइनाटसिमल की परिकल्पना प्रस्तुत करना पड़ी, अर्थात् चंद्रमा की अति सूक्ष्मकालीन या लगभग तात्कालिक गति को समझने के लिए असीमित रूप से सूक्ष्म संख्याओं की परिकल्पना करके उन्होंने उसे एक मौलिक अवकल समीकरण के रूप में प्रस्तुत किया। आर्यभट्ट के समीकरणों की 10वीं सदी में मंजुला ने और 12वीं सदी में भास्कराचार्य ने विस्तारपूर्वक व्याख्या की। भास्कराचार्य ने ज्या फलन के अवकलज (डिफरेंशल) का मान निकाला। परवर्ती गणितज्ञों ने समाकलन (इंटिग्रेशन) की अपनी विलक्षण समझ का उपयोग करके वक्र तलों के क्षेत्रफल और वक्र तलों द्वारा घिरे आयतन का मान निकाला। स्टोकेस्टिक कैलकुलस या गणन की सबसे अच्छी उदाहरण स्टोकेस्टिक प्रक्रियों में से सबसे प्रसिद्ध वीनर प्रक्रिया हैं जो ब्राउनियन प्रस्ताव को गौर से पढ़ते हैं |

ब्रोनियन गति और अप्रत्याशित कलन

ब्रोनियन प्रवेग

       किसी तरल के अन्दर तैरते हुए कणों की टेड़ी-मेढ़ी गति को ही ब्राउनियन गति या ब्राउनियन प्रस्ताव कहते हैं | स्टोकेस्टिक कैलकुलस विसरण प्रक्रियों को पढ़ने केलिए भी इस्तेमाल करते हैं | दो या दो से अधिक पादार्थों का स्वतः एक दूसरे से मिलकर समांग मिश्रण बनाने की क्रिया को विसरण (डिफ्यूजन) कहते हैं। सजीव कोशिकाओं में अमीनो अम्ल के संवहन में विसरण की मुख्य भूमिका है और इसे पढ़ने केलिए स्टोकेस्टिक गणन को ही इस्तेमाल करते हैं |वीनर प्रक्रिया सिर्फ विज्ञानं में ही नहीं बल्कि वित्तीय गणित एवं वाणिज्य में भी इस्तेमाल किया जाते हैं और इन सबके आधार स्टोकेस्टिक गणन ही हैं | गणितीय वित्त अनुप्रयुक्त गणित की एक शाखा (प्रक्षेत्र) है जो वित्त-बाजार से संबंधित है। बहुत से विश्वविद्यालयों में गणितीय वित्त की शिक्षा दी जाती है | ऐसी गणित शाखाओं में भी स्टोकेस्टिक गणन की भूमिका बहुत महत्वपूर्ण हैं | स्टोकेस्टिक या अप्रत्याशित गणन में भी अलग शाखाएं हैं जिसे समछना अत्यंत महत्वपूर्ण हैं | इन शाखों में से दो बहुत महत्वपूर्ण शाखाएं हैं इतो गणन और मल्लिएविन गणन | इतो गणन में हम स्टोकेस्टिक प्रक्रियों के बारे में पढ़ने की बावजूद स्टोकास्टिक अंतर समीकरणों को भी सावधानी से पढ़ेंगे | मल्लिएविन गणन सम्भावना विज्ञानं से जुडी हैं और इसकी कई अनुप्रयोग हैं | इन सभी में अप्रत्याशित गणन की भूमिका प्रशंसनीय हैं | स्टोकेस्टिक प्रक्रियों को पढ़ने केलिए मल्लिएविन एकीकरणों से अधिक इतो एकीकरणों की प्रयाग किया जाता हैं |इन एकीकरणों की इस्तेमाल प्रधम दृष्टि से अभियांत्रिकी विषयों में किया जाते हैं क्योंकि सर्वाधिक प्राकृतिक प्रक्रियाएं स्टोकेस्टिक अथवा अप्रत्याशित होते हैं | स्टोकेस्टिक कलन और साधारण गणन में यही फर्क हैं की स्टोकेस्टिक कलन में हम अप्रत्यासित प्रक्रियों को गौर से पढ़ते हैं |कैलकुलस का उपयोग सभी भौतिक विज्ञानों, इंजीनियरी, संगणक विज्ञान, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, वाणिज्य, आयुर्विज्ञान, एवं अन्यान्य क्षेत्रों में होता है।

स्ट्रॉन्टोविच कैलकुलस

स्ट्रैटनोविच का अभिन्न सेमीमार्टिंगेल <गणित> एक्स </ गणित> दूसरे के खिलाफ सेमीमार्टिंगेल 'वाई' को इटोन इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

$\int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},$

$\int _{0}^{t}X_{s}\,\partial Y_{s}$

स्ट्रेटोनोविच अभिन्न को निरूपित करने के लिए भी उपयोग किया जाता है।

अनुप्रयोग

स्टोकेस्टिक कैलकुलस का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग मात्रात्मक वित्त में है, जिसमें परिसंपत्ति की कीमतों को अक्सर स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों का पालन करने के लिए माना जाता है। ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में, कीमतों को ज्यामितीय ब्राउनियन गति का पालन करने के लिए माना जाता है।

बाहरी कड़ियाँ

• On Stochastic Processes Open CourseWare
• Lecture Notes on Stochastic Processes Gordan Zitkovic, University of Texas at Austin
• Brownian Motion, Britannica
• Ito Calculus Elsevier