गणित में, अतिपरवलयिक फलन (hyperbolic functions) ऐसे फलन हैं जो सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों से मिलते-जुलते किन्तु अलग फलन हैं।
A ray through the unit hyperbola x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1} in the point ( cosh a , sinh a ) {\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)} , where a {\displaystyle \scriptstyle a} is twice the area between the ray, the hyperbola, and the x {\displaystyle \scriptstyle x} -axis. For points on the hyperbola below the x {\displaystyle \scriptstyle x} -axis, the area is considered negative (see animated version with comparison with the trigonometric (circular) functions). हाइपरबोलिक साइन "sinh" (/ ˈ s ɪ n tʃ / या / ˈ ʃ aɪ n / ),[1] और हाइपरबोलिक कोसाइन "cosh" (/ ˈ k ɒ ʃ / ),[2] मूलभूत अतिपरवलयिक फलन हैं। इनसे हाइपरबोलिक टैन्जेन्ट "tanh" (/ ˈ t æ n tʃ / या / ˈ θ æ n / ),[3] हाइपरबोलिक कोसेकेन्ट "csch" या "cosech" (/ ˈ k oʊ ʃ ɛ k / [2] या / ˈ k oʊ s ɛ tʃ / ), हाइपरबोलिक सेकेन्ट "sech" (/ ˈ ʃ ɛ k / या / ˈ s ɛ tʃ / ),[4] तथा हाइपरबोलिक कोटैन्जेन्ट "coth" (/ ˈ k oʊ θ / या / ˈ k ɒ θ / ),[5] [6] व्युत्पन्न हुए हैं।
sinh , cosh and tanh csch , sech and coth (a) cosh(x ) is the average of ex and e−x (b) sinh(x ) is half the difference of ex and e−x अतिपरवलयिक फलनों को कई तरह से पारिभाषित किया जाता है। एक विधि इनको इक्सपोनेन्शियल फलन के फलन के रूप में परिभाषित करती है-
sinh x = e x − e − x 2 = e 2 x − 1 2 e x = 1 − e − 2 x 2 e − x . {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.} cosh x = e x + e − x 2 = e 2 x + 1 2 e x = 1 + e − 2 x 2 e − x . {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.} tanh x = sinh x cosh x = e x − e − x e x + e − x = {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=}
= e 2 x − 1 e 2 x + 1 = 1 − e − 2 x 1 + e − 2 x . {\displaystyle ={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}.} coth x = cosh x sinh x = e x + e − x e x − e − x = {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=}
= e 2 x + 1 e 2 x − 1 = 1 + e − 2 x 1 − e − 2 x , x ≠ 0. {\displaystyle ={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}},\qquad x\neq 0.} sech x = 1 cosh x = 2 e x + e − x = {\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=}
= 2 e x e 2 x + 1 = 2 e − x 1 + e − 2 x . {\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}.} csch x = 1 sinh x = 2 e x − e − x = {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=}
= 2 e x e 2 x − 1 = 2 e − x 1 − e − 2 x , x ≠ 0. {\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}},\qquad x\neq 0.} हाइपरबोलिक फलनों को अवकल समीकरणों के हल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन निम्नलिखित तन्त्र के अनन्य हल (s , c ) हैं-
c ′ ( x ) = s ( x ) s ′ ( x ) = c ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}} such that
s (0) = 0 and c (0) = 1 .
ये फलन निमनलिखित समीकरण के अन्न्य हल भी हैं-
f ″ ( x ) = f ( x ) , {\displaystyle f''(x)=f(x),}
such that f ( 0 ) = 1 , f ′ ( 0 ) = 0 , {\displaystyle f(0)=1,f'(0)=0,} for the hyperbolic cosine, and f ( 0 ) = 0 , f ′ ( 0 ) = 1 , {\displaystyle f(0)=0,f'(0)=1,} for the hyperbolic sine.
Hyperbolic functions may also be deduced from trigonometric functions with complex arguments:
sinh x = − i sin ( i x ) {\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)} cosh x = cos ( i x ) {\displaystyle \cosh x=\cos(ix)} tanh x = − i tan ( i x ) {\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)} coth x = i cot ( i x ) {\displaystyle \coth x=i\cot(ix)} sech x = sec ( i x ) {\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)} csch x = i csc ( i x ) {\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)} where i is the imaginary unit with the property that i 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.}
The complex forms in the definitions above derive from Euler's formula .
↑ (1999) Collins Concise Dictionary , 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN 0 00 472257 4 , p. 1386
↑ अ आ Collins Concise Dictionary , p. 328
↑ Collins Concise Dictionary , p. 1520
↑ Collins Concise Dictionary , p. 1340
↑ Collins Concise Dictionary , p. 329
↑ "tanh" (PDF) . मूल से 31 अक्तूबर 2017 को पुरालेखित (PDF) . अभिगमन तिथि 14 अक्तूबर 2017 .