इष्टतम नियंत्रण

इष्टतम नियंत्रण (Optimal control), नियंत्रण की नीति (कन्ट्रोल स्ट्रेटिजी) निर्धारित करने की एक गणितीय इष्टतमीकरण विधि है। यह विचरण-कलन (calculus of variations) का विस्तार है जिसका विकास १९५० के दशक में लेव पोंट्रयागिन ( Lev Pontryagin) तथा रिचर्ड बेलमान (Richard Bellman) ने किया था। इष्टतम नियंत्रण के अनुप्रयोग विविध क्षेत्रों में हो रहे हैं, जैसे- इंजीनियरी, अर्थनीति, जीवविज्ञान, पर्यावरण, वित्त, प्रबन्धन, चिकित्सा आदि।

उदाहरण : सीमित काल

किसी खान मालिक को निर्नय लेना है कि खान से खनिज किस गति से निकाले जांय। उसके पास खनन का स्वामित्व दिनांक $0$ से दिनांक $T$ तक है। दिनाक $0$ को खान में अयस्क की मात्रा $x_{0}$ है। अयस्क की वर्तमान मात्रा $x(t)$ उसी गति से घटती जाती है जिस गति $u(t)$ से खनिज निकाला जाता है। खान से अयस्क निकालने का खर्च $u(t)^{2}/x(t)$ है और अयस्क का मूल्य नियतांक $p$ है। समय $T$ पर खान में जो अयस्क बच जाता है उसका कोई मूल्य नहीं रहेगा। खान स्वामी, अपने स्वामित्व काल में अपना लाभ अधिकतम करने के लिये खनन की दर $u(t)$ कैसी रखे?

1. Discrete-time version The manager maximizes profit $\Pi$: $\Pi =\sum _{t=0}^{T-1}\left[pu_{t}-{\frac {u_{t}^{2}}{x_{t}}}\right]$ subject to the law of evolution for the state variable $x_{t}$ $x_{t+1}-x_{t}=-u_{t}\!$ Form the Hamiltonian and differentiate: $H=pu_{t}-{\frac {u_{t}^{2}}{x_{t}}}-\lambda _{t+1}u_{t}$ ${\frac {\partial H}{\partial u_{t}}}=p-\lambda _{t+1}-2{\frac {u_{t}}{x_{t}}}=0$ $\lambda _{t+1}-\lambda _{t}=-{\frac {\partial H}{\partial x_{t}}}=-\left({\frac {u_{t}}{x_{t}}}\right)^{2}$ As the mine owner does not value the ore remaining at time $T$, $\lambda _{T}=0\!$ Using the above equations, it is easy to solve for the $x_{t}$ and $\lambda _{t}$ series $\lambda _{t}=\lambda _{t+1}+{\frac {(p-\lambda _{t+1})^{2}}{4}}$ $x_{t+1}=x_{t}{\frac {2-p+\lambda _{t+1}}{2}}$ and using the initial and turn-T conditions, the $x_{t}$ series can be solved explicitly, giving $u_{t}$.		2. Continuous-time version The manager maximizes profit $\Pi$: $\Pi =\int _{0}^{T}\left[pu(t)-{\frac {u(t)^{2}}{x(t)}}\right]dt$ subject to the law of evolution for the state variable $x(t)$ ${\dot {x}}(t)=-u(t)$ Form the Hamiltonian and differentiate: $H=pu(t)-{\frac {u(t)^{2}}{x(t)}}-\lambda (t)u(t)$ ${\frac {\partial H}{\partial u}}=p-\lambda (t)-2{\frac {u(t)}{x(t)}}=0$ ${\dot {\lambda }}(t)=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-\left({\frac {u(t)}{x(t)}}\right)^{2}$ As the mine owner does not value the ore remaining at time $T$, $\lambda (T)=0$ Using the above equations, it is easy to solve for the differential equations governing $u(t)$ and $\lambda (t)$ ${\dot {\lambda }}(t)=-{\frac {(p-\lambda (t))^{2}}{4}}$ $u(t)=x(t){\frac {p-\lambda (t)}{2}}$ and using the initial and turn-T conditions, the functions can be solved to yield $x(t)={\frac {(4-pt+pT)^{2}}{(4+pT)^{2}}}x_{0}$

इन्हें भी देखें

• अरैखिक नियंत्रण
• इष्टतमीकरण (ऑप्टिमाइजेशन)
• गतिक क्रमादेशन (Dynamic programming)
• मॉडल द्वारा अनुमानित नियंत्रण