द्विपद वितरण

द्विपद वितरण (अंग्रेज़ी: Binomial distribution) प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, मापदंडों n और p के साथ n स्वतंत्र प्रयोगों के अनुक्रम में सफलताओं की संख्या, प्रत्येक एक हाँ-नहीं सवाल पूछते हुए और प्रत्येक के अपने स्वयं के बूलियन-मूल्य परिणाम के साथ : सफलता / हाँ / सच / एक ( प्रायिकता p के साथ) या विफलता / नहीं / झूठ / शून्य ( प्रायिकता q = 1-p के साथ), का असतत प्रायिकता वितरण है। एक एकल सफलता/ विफलता प्रयोग को बरनौली परीक्षण या बरनौली प्रयोग भी कहा जाता है और परिणामों का एक क्रम बरनौली प्रक्रिया कहलाता है; एक परीक्षण के लिए, यानी, n=1, द्विपद वितरण बर्नौली वितरण है। द्विपद वितरण सांख्यिकीय महत्व के लोकप्रिय द्विपद परीक्षण का आधार है।

द्विपद वितरण

Probability mass function
Cumulative distribution function
Notation	$B(n,p)$
Parameters	$n\in \{0,1,2,\ldots \}$ – प्रयोगों की संख्या $p\in [0,1]$ – हर प्रयोगों के सफलता की प्रायिकता $q=1-p$
Support	$k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ – सफल प्रयोगों की संख्या
pmf	${\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$
CDF	$I_{q}(n-k,1+k)$
Mean	$np$
Median	$\lfloor np\rfloor$ or $\lceil np\rceil$
Mode	$\lfloor (n+1)p\rfloor$ or $\lceil (n+1)p\rceil -1$
Variance	$npq$
Skewness	${\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}$
Ex. kurtosis	${\frac {1-6pq}{npq}}$
Entropy	${\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pi enpq)+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
MGF	$(q+pe^{t})^{n}$
CF	$(q+pe^{it})^{n}$
PGF	$G(z)=[q+pz]^{n}$
Fisher information	$g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}$ ( स्थापित$n$ के लिए)

$p=0.5$ के लिए द्विपद वितरण
n और k Pascal's triangle के साथ

The probability that a ball in a Galton box with 8 layers (n = 8) ends up in the central bin (k = 4) is $70/256$.