प्रत्यावर्ती श्रेणी

गणित में प्रत्यावर्ती श्रेणी निम्न प्रकार की अनन्त श्रेणी है:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}$ or $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,a_{n}$

जहाँ  n के सभी मानों के लिए a_n > 0 है। एक व्यापक पद का चिह्नप्रत्यावर्ती रूप से धनात्मक और ऋणात्मक होता है।

प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण

मुख्य लेख: प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण

"लियबनिज़ परीक्षण" अथवा प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण के रूप में ज्ञात प्रमेय के अनुसार श्रेणी अभिसरीत होगी यदि और केवल यदि पद a_n एकदिष्टतः शून्य की ओर अग्रसर हो।

उपपत्ति: माना कि अनुक्रम $a_{n}$ शून्य की ओर अग्रसर है तथा यह एकदिष्टतः ह्रसमान है। यदि $m$ विषम है और $m<n$, तब हम $S_{m}-S_{n}<a_{m}$ निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं:

${\begin{aligned}S_{m}-S_{n}&=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}$

चूँकि $a_{n}$ एकदिष्टतः ह्रसमान है अतः पद $-(a_{m}-a_{m+1})$ ऋणात्मक है। अतः अन्त में हमें $S_{m}-S_{n}\leq a_{m}$ असमता प्राप्त होती है। इसी प्रकार यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि $-a_{m}\leq S_{m}-S_{n}$ है। चूँकि $a_{m}$ शुन्य ($0$) की ओर अग्रसर है, कॉशी समीकरण के अनुसार आंशिक संकलन $S_{m}$ प्राप्त होता है अर्थात श्रेणी अभिसरित होती है।

सन्दर्भ

• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर प्रत्यावर्ती श्रेणी