फिबोनाची अनुक्रम

गणित में फिबोनाची अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक संख्या अपने से पहले वाली दो संख्याओं का योग होती है। अनुक्रम सामान्यतः 0 और 1 से शुरू होता है, हालांकि कुछ लेखक अनुक्रम को 1 और 1 से या कभी-कभी (जैसा कि फिबोनाची ने किया था) 1 और 2 से शुरू करते हैं। 0 और 1 से शुरू होकर, अनुक्रम शुरू होता है। परिणामस्वरूप, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, 13+21=34, और 21+34=55, जो दर्शाता है कि 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, और 55 सभी फिबोनाची संख्याएँ हैं। 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 0+1 से शुरू होने वाला फिबोनाची अनुक्रम, जिसमें पहली संख्या 0 है, उन संख्याओं से मिलकर बना है जो स्वयं और उनसे पहले वाली संख्या का योग हैं। वे संख्याएं जो फिबोनाची अनुक्रम का हिस्सा हैं, उन्हें फिबोनाची संख्या के रूप में जाना जाता है, जिन्हें आमतौर पर Fn से दर्शाया जाता है। $F n$ .

फिबोनाची संख्याओं का वर्णन भारतीय गणित में सर्वप्रथम 200 ईसा पूर्व में पिंगला द्वारा दो लम्बाइयों के अक्षरों से निर्मित संस्कृत काव्य के संभावित स्वरूपों की गणना के कार्य में किया गया था।

फिबोनाची संख्याएं गणित में अक्सर अप्रत्याशित रूप से सामने आती हैं। ये इतनी अधिक हैं कि उनके अध्ययन के लिए फिबोनाची क्वार्टरलीएक पूरी समर्पित पत्रिका है। फिबोनाची संख्याओं के अनुप्रयोगों में कंप्यूटर एल्गोरिदम जैसे कि फिबोनाची खोज तकनीक और फिबोनाची हीप डेटा संरचना, तथा ग्राफ़ शामिल है, जिन्हें फिबोनाची क्यूब कहा जाता है। इसका उपयोग समानांतर और वितरित प्रणालियों को आपस में जोड़ने के लिए किया जाता है।

परिभाषा

फिबोनाची संख्याओं को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।^[1] $F_{0}=0,\quad F_{1}=1,$ and $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ for $n > 1$ .

कुछ पुरानी परिभाषाओं के अंतर्गत, मान $F_{0}=0$ को छोड़ दिया जाता है, ताकि अनुक्रम $F_{1}=F_{2}=1,$ से शुरू हो और पुनरावृत्ति $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ $n > 2$ के लिए मान्य हो।^[2]^[3]

इतिहास

भारत

लंबे और छोटे अक्षरों को छह लंबाई के ताल में व्यवस्थित करने के तेरह (F7) तरीके। आठ (F6) छोटे अक्षर के साथ समाप्त होते हैं और पाँच (F5) लंबे अक्षर के साथ समाप्त होते हैं।

फिबोनाची अनुक्रम भारतीय गणित में, संस्कृत छंदशास्त्र के संबंध में दिखाई देता है। ^[4]^[5] संस्कृत काव्य परंपरा में, 2 इकाई अवधि के दीर्घ (एल) अक्षरों के सभी पैटर्न को 1 इकाई अवधि के लघु (एस) अक्षरों के साथ गिनने में रुचि थी। दी गई कुल अवधि के साथ क्रमिक L और S के विभिन्न पैटर्न की गणना करने पर फिबोनाची संख्याएं प्राप्त होती हैं: $m$ इकाई अवधि के पैटर्न की संख्या $F m +1$ है। ^[6]

यूरोप

A page of Fibonacci's Liber Abaci from the Biblioteca Nazionale di Firenze showing (in box on right) 13 entries of the Fibonacci sequence:
the indices from present to XII (months) as Latin ordinals and Roman numerals and the numbers (of rabbit pairs) as Hindu-Arabic numerals starting with 1, 2, 3, 5 and ending with 377.

फिबोनाची अनुक्रम पहली बार फिबोनाची द्वारा लिखित पुस्तक लिबर अबासी (गणना की पुस्तक, 1202) में दिखाई देता है[16][17] जहां इसका उपयोग खरगोशों की आबादी की वृद्धि की गणना करने के लिए किया जाता है।

फिबोनाची अनुक्रम का ट्रेडिंग में उपयोग

फिबोनाची रिट्रेसमेंट

.386, .50, और .618 रिट्रेसमेंट स्तर लोकप्रिय बाजार सॉफ्टवेयर पैकेजों में पाए जाने वाले फिबोनाची ग्रिड की मूल संरचना बनाते हैं, जबकि .214 और .786 स्तर उच्च अस्थिरता की अवधि के दौरान काम में आते हैं। प्रारंभिक विश्लेषण तकनीक इतनी सरल है कि सभी स्तरों के बाजार सहभागी इसे समझ सकते हैं और इसमें निपुणता प्राप्त कर सकते हैं।^[7]

इन्हें भी देखें

हेमचन्द्र संख्या (फिबोनाकी संख्या)

सन्दर्भ

↑ Lucas 1891, पृ॰ 3.
↑ Beck & Geoghegan 2010.
↑ Bóna 2011, पृ॰ 180.
↑ Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India", Historia Mathematica, 12 (3): 229–44, डीओआइ:10.1016/0315-0860(85)90021-7
↑ Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming, 1, Addison Wesley, पृ॰ 100, आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-81-7758-754-8, Before Fibonacci wrote his work, the sequence Fn had already been discussed by Indian scholars, who had long been interested in rhythmic patterns ... both Gopala (before 1135 AD) and Hemachandra (c. 1150) mentioned the numbers 1,2,3,5,8,13,21 explicitly [see P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44]" p. 100 (3d ed) ...
↑ Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming, 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation, Addison–Wesley, पृ॰ 50, आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-0-321-33570-8, it was natural to consider the set of all sequences of [L] and [S] that have exactly m beats. ... there are exactly Fm+1 of them. For example the 21 sequences when $m = 7$ are: [gives list]. In this way Indian prosodists were led to discover the Fibonacci sequence, as we have observed in Section 1.2.8 (from v.1)
↑ "Fibonacci Techniques for Profitable Trading". Investopedia (अंग्रेज़ी में). अभिगमन तिथि 11 अगस्त 2024.

[FOOTNOTELucas18913-1] Lucas 1891, पृ॰ 3.

[FOOTNOTEBeckGeoghegan2010-2] Beck & Geoghegan 2010.

[FOOTNOTEBóna2011180-3] Bóna 2011, पृ॰ 180.

[HistoriaMathematica-4] Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India", Historia Mathematica, 12 (3): 229–44, डीओआइ:10.1016/0315-0860(85)90021-7

[knuth-v1-5] Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming, 1, Addison Wesley, पृ॰ 100, आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-81-7758-754-8, Before Fibonacci wrote his work, the sequence Fn had already been discussed by Indian scholars, who had long been interested in rhythmic patterns ... both Gopala (before 1135 AD) and Hemachandra (c. 1150) mentioned the numbers 1,2,3,5,8,13,21 explicitly [see P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44]" p. 100 (3d ed) ...

[Donald_Knuth_2006_50-6] Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming, 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation, Addison–Wesley, पृ॰ 50, आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-0-321-33570-8, it was natural to consider the set of all sequences of [L] and [S] that have exactly m beats. ... there are exactly Fm+1 of them. For example the 21 sequences when $m = 7$ are: [gives list]. In this way Indian prosodists were led to discover the Fibonacci sequence, as we have observed in Section 1.2.8 (from v.1)

[7] "Fibonacci Techniques for Profitable Trading". Investopedia (अंग्रेज़ी में). अभिगमन तिथि 11 अगस्त 2024.

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