"फ़ूर्ये श्रेणी": अवतरणों में अंतर
Content deleted Content added
छो Removing {{आधार}} template using AWB (6839) |
No edit summary |
||
पंक्ति 1:
{{वार्ता शीर्षक}}[[गणित]] में '''फुरिअर श्रेणी''' (Fourier series) एक ऐसी (अनन्त) श्रेणी है जो '''f''' आवृत्ति वाले किसी [[आवर्ती फलन]] (periodic function) को f, 2f, 3f, आदि आवृत्तियों वाले [[ज्या]] और [[कोज्या]] फलनों के योग के रूप में प्रस्तुत करती है। इसका प्रयोगे सबसे पहले [[जोसेफ फुरिअर]] (१७६८ - १८३०) ने धातु की प्लेटों में [[उष्मा]] प्रवाह एवं [[तापमान]] की गणना के लिये किया था। किन्तु बाद में इसका उपयोग अनेकानेक क्षेत्रों में हुआ और यह विश्लेषण का एक क्रान्तिकारी औजार साबित हुआ।▼
▲[[गणित]] में '''फुरिअर श्रेणी''' (Fourier series) एक ऐसी (अनन्त) श्रेणी है जो '''f''' आवृत्ति वाले किसी [[आवर्ती फलन]] (periodic function) को f, 2f, 3f, आदि आवृत्तियों वाले [[ज्या]] और [[कोज्या]] फलनों के योग के रूप में प्रस्तुत करती है। इसका प्रयोगे सबसे पहले [[जोसेफ फुरिअर]] (१७६८ - १८३०) ने धातु की प्लेटों में [[उष्मा]] प्रवाह एवं [[तापमान]] की गणना के लिये किया था। किन्तु बाद में इसका उपयोग अनेकानेक क्षेत्रों में हुआ और यह विश्लेषण का एक क्रान्तिकारी औजार साबित हुआ।
इसकी सहायता से कठिन से कठिन फलन भी ज्या और कोज्या फलनोंके योग के रूप में प्रकट किये जाते हैं जिससे इनसे सम्बन्धित गणितीय विश्लेषन अत्यन्त सरल हो जाते हैं।
Line 8 ⟶ 6:
* [[वैद्युत प्रौद्योगिकी]] में - विद्युत [[परिपथ]] में बहने वाली धारा और वोल्टता आदि की गणना में
* [[कम्पन]] के विश्लेषण में (यांत्रिक, ध्वनि या विद्युतचुम्बकीय कम्पन)
* [[ध्वनि]], [[प्रकाश]] के अध्ययन एवं विश्लेषण में
* [[संकेत प्रसंस्करण]] (signal processing) में
* [[छवि प्रसंस्करण]] (image processing) में
== 2π आवर्तकाल वाले आवर्ती फलनों के लिये फुरिअर श्रेणी ==
Line 16 ⟶ 14:
माना ''f''(''x'') , वास्तविक [[चर]] ''x'' का एक आवर्ती फलन है जिसका [[आवर्त काल]] 2π है अर्थात ''f''(''x''+2π) = ''f''(''x'') तो,
:<math>f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]</math>
इस श्रेणी को फुरिअर श्रेणी कहते हैं । <math>a_0,a_1,...</math> और <math>b_1, b_2, ...</math> को '''फुरिअर गुणांक''' कहा जाता है। ये गुणांक [[वास्तविक संख्या]] या [[समिश्र संख्या]] हो सकते हैं।
Line 27 ⟶ 25:
:<math>f(x) = x, \quad \mathrm{for} \quad -\pi < x < \pi,</math>
:<math>f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{for} \quad -\infty < x < \infty.</math>
इस फलन के लिये फुरिअर गुणांक इस प्रकार होंगे:
| |||