"सदिश कलन": अवतरणों में अंतर

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{{वार्ता शीर्षक}}'''सदिश कैल्कुलस''' या '''सदिश विश्लेषण''' (Vector calculus / vector analysis) [[गणित]] की वह विधा है जो सदिश राशियों के वास्तविक विश्लेषण (real analysis) से सम्बन्ध रखती है।
 
इसके अन्तर्गत बहुत सी समस्याएं हल करने की विधियाँ एवं सूत्र आते हैं जो कि प्रौद्योगिकी एवं विज्ञान में बहुत उपयोगी हैं। अमेरिकी वैज्ञानिक एवं इंजीनियर विलार्ड गिब्स (J. Willard Gibbs) तथा ब्रिटिश इंजीनियर हेवीसाइड (Oliver Heaviside) ने इस क्षेत्र के अग्रदूत रहे।
 
 
सदिश विश्लेषण '''अदिश क्षेत्र''' तथा '''सदिश क्षेत्र''' के साथ गहरा सम्बन्ध है।
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; उदाहरण
किसी तालाब का तापमान एक अदिश क्षेत्र है क्योंकि इसके अन्तर्गत प्रत्येक बिन्दु पर एक [[अदिश राशि]] - [[तापमान]] का अस्तित्व है। इसके विपरीत यदि तालाब का पानी गतिशील है तो इसके हरेक बिन्दु पर जल का वेग एक सदिश क्षेत्र है।
 
 
== सदिश संक्रियाएँ (vector operations) ==
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:<math> \operatorname{grad}~\varphi =\vec \nabla\varphi = \begin{pmatrix} \frac{\partial\varphi} {\partial x} \\[0.2cm] \frac{\partial\varphi}{\partial y} \\[0.2cm] \frac{\partial\varphi}{\partial z} \end{pmatrix}</math>
 
 
 
=== डाइवर्जेंस (Divergence) ===
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+ \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z}
</math>
 
 
=== कर्ल या रोटेशन (curl) ===
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\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\end{pmatrix}</math>
 
 
=== लाप्लासिअन (Laplacian) ===
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==== लापलासिअन के कुछ उपयोग ====
; [[पॉयसन का समीकरण]] (Poisson's equation)
<math>{\nabla}^2 \varphi = f</math>
 
; तनी हुई डोरी का कम्पन
 
; तनी हुई डोरी का कम्पन
<math>{\nabla}^2 \varphi(x, y, z, t) = \frac{1}{c^2}\cdot\frac{\partial^2 \varphi(x, y, z, t)}{\partial t^2}</math>
 
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== प्रमुख प्रमेय ==
 
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
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| <math>\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},</math> || The integral of the divergence of a vector field over some solid equals the integral of the [[flux]] through the surface bounding the solid.
|}
 
 
== अन्य निर्देशांकों में सदिश संक्रियाएँ ==
 
=== बेलनाकार निर्देशांक में ===
 
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:<math>\vec{\mathrm{curl}}\vec{A}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\right)\vec{u_r} + \left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\vec{u_\theta} + \frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right)\vec{u_z}</math>
:<math>\Delta f=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
 
 
 
=== गोलीय निर्देशांक में ===
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+ \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)
+ \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}</math>
 
 
 
== सर्वसमिकाएँ ==
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* <math>\vec \nabla \cdot \big( \vec \nabla \times \vec A \big) = 0</math>
* <math>\vec \nabla \times \big( \vec \nabla \times \vec A \big) = \vec \nabla \big( \vec \nabla \cdot \vec A \big) - \nabla^2 \vec A </math>
 
 
* <math>\vec \nabla \cdot \vec x = 3</math>
* <math>\vec \nabla \times \vec x = \vec 0</math>
 
 
यदि <math>\vec \nabla \cdot \vec A = 0</math> तो <math>\vec A = \vec \nabla \times \vec B</math> जहाँ <math>\vec B</math> कोई सदिश क्षेत्र है।
 
 
यदि <math>\vec \nabla \times \vec A = 0</math> तो <math>\vec A = \vec \nabla \Psi</math> जहाँ <math>\Psi</math> कोई अदिश क्षेत्र है।
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== वाह्य सूत्र ==
* [http://www.public.asu.edu/~kevinlg/i256/Nonortho.pdf Expanding vector analysis to a non-orthogonal space]
* [http://books.google.com/books?id=R5IKAAAAYAAJ&printsec=frontcover Vector Analysis:] A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of [[Willard Gibbs]]) by [[Edwin Bidwell Wilson]], published 1902.
 
[[श्रेणी:गणित]]