"प्रतिलोम फलन": अवतरणों में अंतर
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अनुनाद सिंह (वार्ता | योगदान) नया पृष्ठ: {{आधार}} [[चित्र:Inverse Function.png|right|thumb|300px|A function ƒ and its inverse ƒ–1. Because ƒ maps a to 3, the inverse ƒ–1 maps 3 back t... |
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यदि फलन ƒ का प्रतिलोम निकाला जा सकता है तो इसे प्रतिलोमनीय (invertible) कहते हैं। इस स्थिति में ƒ के उस एकमेव (यूनिक) प्रतिलोम को ƒ<sup>−1</sup> कहते हैं ( इसे 'f इन्वर्स' वाचते हैं , इसे -1 घात नहीं समझना चाहिये)
उदाहरण के लिये, माना ƒ एक ऐसा फलन है जो सेल्सियस में ताप के मान को फारेनहाइट में बदल देता है।
:<math> f(C) = \tfrac95 C + 32 ; \,\!</math>
तो इसका प्रतिलोम फलन वह होगा जो डिग्री फारेनहाइट को डिग्री सेल्सियस में बदल दे। अर्थात्
:<math> f^{-1}(F) = \tfrac59 (F - 32) , \,\!</math>
क्योंकि
:<math> f^{-1}\left( \, f(C) \, \right) = f^{-1}\left( \, \tfrac95 C + 32 \, \right) = \tfrac59 \left( \left( \, \tfrac95 C + 32 \, \right) - 32 \right) = C\text{, for every }C\text{.} </math>
==प्रमुख मानक फलनों के प्रतिलोम फलन==
:{| class="wikitable" align="center"
|-
!align="center"| फलन ƒ(''x'')
!align="center"| प्रतिलोम ƒ<sup>−1</sup>(''y'')
!align="center"| टिप्पणी
|-
|align="center"| ''x'' + ''a''
|align="center"| ''y'' – ''a''
|
|-
|align="center"| ''a'' – ''x''
|align="center"| ''a'' – ''y''
|
|-
|align="center"| ''mx''
|align="center"| ''y'' / ''m''
| ''m'' ≠ 0
|-
|align="center"| ''1 / x''
|align="center"| ''1 / y''
| ''x'', ''y'' ≠ 0
|-
|align="center"| ''x''<sup>2</sup>
|align="center"| <math>\sqrt{y}</math>
| ''x'', ''y'' ≥ 0 only
|-
|align="center"| ''x''<sup>3</sup>
|align="center"| <math>\sqrt[3]{y}</math>
| no restriction on ''x'' and ''y''
|-
|align="center"| ''x''<sup>''p''</sup>
|align="center"| ''y''<sup>1/''p''</sup> (i.e. <math>\sqrt[p]{y}</math>)
| ''x'', ''y'' ≥ 0 in general, ''p'' ≠ 0
|-
|align="center"| ''e''<sup>''x''</sup>
|align="center"| ln ''y''
| ''y'' > 0
|-
|align="center"| ''a''<sup>''x''</sup>
|align="center"| log<sub>''a''</sub> ''y''
| ''y'' > 0 and ''a'' > 0
|-
|align="center"| [[trigonometric function]]s
|align="center"| [[inverse trigonometric functions]]
| various restrictions (see table below)
|}
==प्रतिलोम निकालने की विधियाँ==
प्रतिलोम निकालने के लिये अलग-अलग विधिया प्रयोग करनी पड़ती हैं।
ƒ<sup>−1</sup> निकालने का एक तरीका यह है कि यदि प्रतिलोम का अस्तित्व है तो समीकरण को हल करें और ''x'' का मान निकालें- {{nowrap|1= ''y'' = ƒ(''x'') }}
उदाहरण के लिये,
:<math>f(x) = (2x + 8)^3 \,\!</math>
तो हमें {{nowrap|1= ''y'' = (2''x'' + 8)<sup>3</sup>}} की सहायता से ''x'' का मान निकालना होगा:
:<math>\begin{align}
y & = (2x+8)^3 \\
\sqrt[3]{y} & = 2x + 8 \\
\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x \\
\dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x .
\end{align}</math>
अत: प्रतिलोम फलन ƒ<sup>−1</sup> निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जा सकता है-
:<math>f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . \,\!</math>
==इन्हें भी देखें==
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