"अवकल समीकरण": अवतरणों में अंतर
Content deleted Content added
अनुनाद सिंह (वार्ता | योगदान) |
अनुनाद सिंह (वार्ता | योगदान) |
||
पंक्ति 10:
प्रयुक्त गणित, भौतिक विज्ञान तथा विज्ञान की अन्य शाखाओं में भौतिक राशियों को समय, स्थान, ताप इत्यादि स्वतंत्र चलों के फलनों में तुरंत प्रकट करना प्राय: कठिन हो जाता है। परंतु हम उनकी वृद्धि की दर तथा उसके अवकल गुणकों में कोई संबंध बहुधा बड़ी सुगमता से पा सकते हैं। इस प्रकार ऐसे अवकल समीकरण प्राप्त होते हैं जिन्हें पूर्वोक्त राशियाँ संतुष्ट करती हैं। इन्हें हल करना उन राशियों का ज्ञान प्राप्त करने के लिए आवश्यक होता है। इसलिए विज्ञान की उन्नति बहुत अंश तक अवकल समीकरण की प्रगति पर निर्भर है।
==अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण==
माना ''u'' , चर राशि ''x'' का कोई अज्ञात फलन है तथा ''c'' और ''ω'' दोनो ज्ञात नियतांक हैं।
* Inhomogeneous first-order linear constant coefficient ordinary differential equation:
:: <math> \frac{du}{dx} = cu+x^2. </math>
* Homogeneous second-order linear ordinary differential equation:
:: <math> \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0. </math>
* Homogeneous second-order linear constant coefficient ordinary differential equation describing the [[harmonic oscillator]]:
:: <math> \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0. </math>
* First-order nonlinear ordinary differential equation:
:: <math> \frac{du}{dx} = u^2 + 1. </math>
* Second-order nonlinear ordinary differential equation describing the motion of a [[pendulum]] of length ''L'':
:: <math> L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0. </math>
In the next group of examples, the unknown function ''u'' depends on two variables ''x'' and ''t'' or ''x'' and ''y''.
* Homogeneous first-order linear partial differential equation:
:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. </math>
* Homogeneous second-order linear constant coefficient partial differential equation of elliptic type, the [[Laplace equation]]:
:: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. </math>
* Third-order nonlinear partial differential equation, the [[Korteweg–de Vries equation]]:
:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. </math>
== कुछ प्रसिद्ध अवकल समीकरण ==
| |||