"पूर्ण वर्ग बनाना": अवतरणों में अंतर

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आरम्भिक [[बीजगणित]] में [[द्विघात बहुपद]] '''<math>ax^2 + bx + c\,\!</math>''' को '''<math> a(x - h)^2 + k\, </math>''' के रूप में बदलने को '''पूर्ण वर्ग बनाना''' (Completing the square) कहते हैं। यहाँ '''h''' तथा '''k''' का मान '''x''' से स्वतंत्र है। नीचे इसके कुछ उदाहरण दिये हैं-
:<math>\begin{alignat}{1}
x^2 + 6x + 11 \,&=\, (x+3)^2 + 2 \\[3pt]
x^2 + 14x + 30 \,&=\, (x+7)^2 - 19 \\[3pt]
x^2 - 2x + 7 \,&=\, (x-1)^2 + 6.
\end{alignat}
</math>
 
==उपयोग==
गणित में निम्नलिखित स्थितियों में 'पूर्ण वर्ग' बनाने से काम बन जाता है-
* [[वर्ग समीकरण]] के हल में
* द्विघात बहुपदों के अधिकतम और न्यूनतम मान निकालने के लिये
* द्विपद फलनों के [[आरेखण]] (graphing) में
* [[कैलकुलस]] में [[समाकलन|समाकल]] (integral) निकालने में
:<math>a x^2 + b x = \left(\sqrt{a}\,x + \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2 -
\frac{b^2}{4a} . \,\!</math>
 
==पूर्ण वर्ग बनाकर वर्ग समीकरण का हल==
:<math>x^2 + 6x + 5 = 0,\,\!</math>
 
सबसे पहला चरण है - पूर्ण वर्ग बनाना,
 
:<math>(x+3)^2 - 4 = 0.\,\!</math>
 
इसके बाद दो-घात वाले पद का मान प्राप्त करते हैं,
 
:<math>(x+3)^2 = 4.\,\!</math>
 
इससे स्पष्त है कि,
 
:<math>x+3 = -2 या x+3 = 2,</math>
 
अतः
 
:<math>x = -5 \quad\text{or}\quad x = -1.</math>
 
यह विधि किसी भी वर्ग समीकरण के लिये लगायी जा सकती है। जब ''x''<sup>2</sup> का गुणांक '''1''' के बजाय कुछ और हो तो सबसे पहले पूरे समीकरण को इस गुणांक से विभाजित कर देना चाहिये और उसके बाद उपरोक्त रीति से आगबढ़ना चाहिये।
 
==पूर्ण वर्ग बनाकर समाकलन ==