"सीमा (गणित)": अवतरणों में अंतर
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१) '''किसी [[फलन]] की सीमा:'''
जब उस फलन का कोई [[स्वतन्त्र चर]] किसी दिये हुए मान के अत्यन्त निकटवर्ती मान धारण करता है, उस स्थिति में फलन का मान उस फलन की '''सीमा'' कहलाती है। ध्यान रहे कि '''अत्यन्त निकटवर्ती मान''' बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि स्वतन्त्र चर राशि के कुछ मानो के लिये फलन का मान अगणनीय (indeterminate)
२) '''किसी श्रेढी की सीमा:'''
किसी
निम्नलिखित फलन को लेते हैं-
:<math> f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} </math>
<math>x</math>=<math>1</math> पर इसका मान पारिभाषित नहीं किया गया है। किन्तु जब x , 1 की तरफ अग्रसर होता है तो <math>f(x)</math> की सीमा का अस्तित्व है । नीचे की सारणी से भी स्पष्ट है कि <math>\lim_{x \to 1} f(x) = 2</math>：
{| class="wikitable"
|f(0.9)||f(0.99)||f(0.999)||f(1.0)||f(1.001)||f(1.01)||f(1.1)
|-
|1.95||1.99||1.999||<math>\Rightarrow</math> undef <math>\Leftarrow</math>||2.001||2.010||2.10
|}
इस सारणी से स्पष्ट है कि जब <math>x \ne 1</math> किन्तु <math>x</math> का मान <math>1</math> के जितना निकट सोच सकते हैं उतना निकट ले जांय तो <math>f(x)</math> का मान भी <math>2</math> के अत्यन्त निकट पहुंचता जाता है।
==कुछ उदाहरण==
<math>\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0</math>
<math>\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x}=+\infty \qquad \lim_{x \to 0-} \frac{1}{x}=-\infty</math>
<math>\lim_{x \to 3} x^2=9</math>
<math>\lim_{x \to 0} x^x=1</math>
<math>\lim_{x \to 0} \frac{(a+ x)^2-a^2}{x}=2a</math>
<math>\lim_{x \to 0+} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=1</math><math>\lim_{x \to 0-} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=-1</math>
<math>\lim_{x \to +\infty} x.\sin\frac{1}{x}=1</math>
<math>\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x}=0</math>
==सीमा के गुण==
*<math>\lim_{n \to c} b{f(n)} = b{\lim_{n \to c} f(n)}</math>，जहाँ ''b'' एक नियतांक है।
निम्नलिखित सम्बन्ध केवल उसी दशा में सही हैं जब दाहिने तरफ की सीमाओं का अस्तित्व हो तथा वे [[अनन्त]] न हों-
*<math>\lim_{n \to c} ( f(n) + g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) + \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} ( f(n) - g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) - \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} ( f(n) \sdot g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) \sdot \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\lim_{n \to c} f(n)}{\lim_{n \to c} g(n)}</math>，किन्तु यहाँ [[हर]] (डीनॉमिनेटर) की सीमा शून्य नहीं होनी चाहिये।
== इन्हे भी देखें ==
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