"फूर्ये रूपान्तर": अवतरणों में अंतर
Content deleted Content added
अनुनाद सिंह (वार्ता | योगदान) नया पृष्ठ: {{आधार}} '''फूर्ये रूपान्तर''' (Fourier transform) एक गणितीय रूपान्तर है जो भौतिक... |
अनुनाद सिंह (वार्ता | योगदान) No edit summary |
||
पंक्ति 2:
'''फूर्ये रूपान्तर''' (Fourier transform) एक गणितीय रूपान्तर है जो भौतिकी एवं इंजीनियरी में अत्यन्त उपयोगी है। इसका नाम [[जोसेफ फूर्ये]] के नाम पर पड़ा है।
फूर्ये रूपान्तर [[समय]] <math> \scriptstyle f(t)
:<math> \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t </math>
== प्रमुख सूत्र ==
{| border="1" cellspacing=0 cellpadding="5"
! !! फलन !! रूपान्तर !! टिप्पणी
|-
| 1 || <math>af(t)+bg(t)\,</math> || <math>aF(\omega)+bG(\omega)\,</math> || [[रैखिकता]]
|-
| 2 || <math>f(t-a)\,</math> || <math>e^{-i\omega a}F(\omega)\,</math> || विलम्ब (delay)
|-
| 3 || <math>e^{iat}f(t)\,</math> || <math>F(\omega-a)\,</math> || आवृत्ति शिफ्ट
|-
| 4 || <math>f(at)\,</math> || <math>|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\,</math> || यदि <math>a</math> बहुत बड़ा हो तो <math>f(at)</math> 0 के आसपास केन्द्रित होगा और <math>|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)</math> 'चपटा' हो जाएगा।
|-
| 5 || <math>\frac{d^n f(t)}{dt^n}\,</math> || <math>(i\omega)^n F(\omega)\,</math> || Свойство преобразования Фурье от <math>n</math>
|-
| 6 || <math>t^n f(t)\,</math> || <math>i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\,</math> ||
|-
| 7 || <math>(f*g)(t)\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega)\,</math> || Запись <math>f*g</math> означает [[Свёртка (математический анализ)|свёртку]] <math>f</math> и <math>g</math>. Это правило — [[теорема о свёртке]]
|-
| 8 || <math>f(t)g(t)\,</math> || <math>\frac{(F*G)(\omega)}{\sqrt{2\pi}}\,</math> || Это обращение 7
|-
| 9 || <math>\delta(t)\,</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,</math> || <math>\delta(t)</math> означает [[Дельта-функция|дельта-функцию]] Дирака
|-
| 10 || <math>1\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega)\,</math> || Обращение 9. <!--Это правило показывает важность дельта-функции Дирака: it shows up as the Fourier transform of everyday functions-->
|-
| 11 || <math>t^n\,</math> || <math>i^n\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)\,</math> || Здесь, <math>n</math> — [[натуральное число]], <math>\delta^{(n)}(\omega)</math> — <math>n</math>-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых [[многочлен]]ов
|-
| 12 || <math>e^{iat}\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)\,</math> || Следствие 3 и 10
|-
| 13 || <math>\cos(at)\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,</math> || Следствие 1 и 12 с использованием [[формула Эйлера|формулы Эйлера]] <math>\cos(at)=\frac{1}{2}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,</math>
|-
| 14 || <math>\sin(at)\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}\,</math> || Также из 1 и 12
|-
| 15 || <math>\exp(-at^2)\,</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\,</math> || Показывает, что [[Нормальное распределение|функция Гаусса]] <math>\exp(-t^2/2)</math> совпадает со своим изображением
|-
| 16 || <math>W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)\,</math> || <math>\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)\,</math> || Прямоугольная функция — идеальный [[фильтр нижних частот]] и функция [[sinc]](x) — её временной эквивалент
|-
| 17 || <math>\frac{1}{t}\,</math> || <math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,</math> || Здесь <math>\sgn(\omega)\,</math> — функция [[sgn]]. Это правило согласуется с 6 и 10
|-
| 18 || <math>\frac{1}{t^n}\,</math> || <math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\,</math> || Обобщение 17
|-
| 19 ||<math>\sgn(t)\,</math> || <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\,</math> || Обращение 17
|-
| 20 || <math>\sqrt{2\pi}\theta(t)\,</math> || <math>\frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)\,</math> || Здесь <math>\theta(t)\,</math> — [[функция Хевисайда]]. Следует из правил 1 и 19
|}
==इन्हें भी देखें==
| |||