"पायथागॉरियन प्रमेय": अवतरणों में अंतर
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{{Translation/Ref|en|Pythagorean theorem|oldid=286316408}}
{{pp-semi-indef|small=yes|expiry=January 27, 2009}}[[
:<math>a^2 + b^2 = c^2\!\,</math>
जहाँ ''c''
== सूत्र में ==
अगर हम कर्ण की [[लम्बाई|लंबाई]] को ''c''
: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>
या, ''c''
: <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,</math>
यदि ''c''
: <math>c^2 - a^2 = b^2\, </math>
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यह समीकरण समकोण त्रिकोण के तीनों पार्श्वों के बीच एक सरल रिश्ता प्रदान करता है ताकि यदि कोई भी दोनों पार्श्वों की लंबाई का पता हो, तो तीसरे पार्श्व की लंबाई का पता किया जा सकता है.इस प्रमेय का सामान्यकरण कोसाइन का नियम है, जो किसी भी त्रिकोण के तीसरे पार्श्व की लंबाई के हिसाब करने की अनुमति देता है, यदि दो पार्श्वों की लंबाई और उनके बीच के कोण का आकार दिया जाए.यदि दोनों पार्श्वों के बीच का कोण समकोण है तो वह पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग कर सकता है.
== सबूत ==
यह एक ऐसा प्रमेय है जिसके अन्य की तुलना में अधिक सबूत ज्ञात हो सकते हैं ([[द्विघाती पारस्परिकता]] का नियम भी इस गौरव के लिए प्रतियोगी रह चूका है); एलीशा स्कॉट लूमिस द्वारा, ''पायथागॉरियन प्रस्ताव''
[[त्रिकोणमिति पहचान|ट्रीगोनोमेट्रिक पहचान]] के आधार पर कुछ तर्क ने (जैसे [[साइन]] और [[कोसाइन]] की [[टेलर श्रृंखला]]) इस प्रमेय को सबूत के रूप में प्रस्तावित किया गया है.हालांकि, क्यूंकि सभी मौलिक ट्रीगोनोमेट्रिक पहचान को पायथागॉरियन प्रमेय के उपयोग से साबित किया जा चूका है, यहाँ कोई ट्रीगोनोमेट्रिक सबूत नहीं हो सकता है.{{Fact|date=April 2009}}([[सवाल की प्रार्थना करी|सवाल के लिए भीख मांगना भी देखें.]])
=== समान त्रिकोण के उपयोग से सबूत ===
[[
''ABC''
जैसे
Line 47 ⟶ 45:
:<math>a^2+b^2=c^2.\,\!</math>
=== यूक्लिड के सबूत ===
[[
औपचारिक प्रमाण के लिए, हमें चार प्राथमिक लेम्मटा की आवश्यकता है:
# यदि दो त्रिकोण के दो पार्श्वों में से एक पार्श्व दूसरे के दो पार्श्वों के बराबर हो, प्रत्येक के लिए प्रत्येक, और उन पार्श्वों द्वारा बना कोण बराबर हो, तो त्रिकोण अनुकूल हैं.(पार्श्व - कोण - पार्श्व प्रमेय)
# एक त्रिकोण का क्षेत्रफल एक ही तल और ऊंचाई पर किसी भी समानांतर चतुर्भुज का आधा क्षेत्रफल है.
# किसी भी वर्ग का क्षेत्रफल उसके दो पार्श्वों के उत्पाद के बराबर होता है.
# किसी भी आयत का क्षेत्रफल उसके दो संलग्न पार्श्वों के उत्पाद के बराबर होता है (लेम्मा 3 से पालन करती है).
इस सबूत के पीछे सहज विचार, जो इसका पालन करना आसान बना सकता है, कि ऊपर के दो वर्गों को एक ही आकार के [[समानांतर चतुर्भुज]] में बदला गया है, फिर मोड़कर और बाएं और दाहिने आयत को निचले वर्ग में बदला गया है, फिर निरंतर क्षेत्र में.{{-}}[[
# ACB को समकोण त्रिकोण मानते हैं जिसमें समकोण CAB है.
# प्रत्येक पार्श्वों BC, AB, और CA में, चौरस बनाया गया है, CBDE, BAGF, and ACIH, इस क्रम में.
# A से, BD और CE करने के लिए एक समानांतर रेखा बनाएँ. यह लंबरूप में BC और DE को K और L में क्रमशः, काटता है.
# CF और AD को जोडें, BCF और BDA त्रिकोण बनाने के लिए.
# कोण CAB और BAG दोनों समकोण हैं; इसलिए C, A, और G [[एकरेखस्थ]] हैं.इसी प्रकार बी, के लिए एक, और एच.
# कोण CBD और FBA दोनों समकोण हैं; इसलिए कोण ABD कोण FBC के बराबर है, क्यूंकि दोनों एक समकोण और कोण एबीसी के जोड़ के बराबर हैं.
# क्योंकि AB और BD, FB and बक के बराबर हैं, क्रमशः, ABD त्रिकोण FBC त्रिकोण के बराबर होना चाहिए.
# क्यूंकि A, K और L के साथ एकरेखस्थ है, आयत BDLK का क्षेत्रफल ABD त्रिकोण से दुगना होना चाहिए.
# क्यूंकि C, A और G के साथ एकरेखस्थ है, वर्ग BAGF का क्षेत्रफल FBC त्रिकोण से दुगना होना चाहिए.
# इसलिए आयत BDLK का क्षेत्रफल वर्ग BAGF के बराबर होना चाहिए = AB<sup>2</sup>.
# इसी प्रकार, यह दिखाया जा सकता है की आयत चकले का क्षेत्रफल वर्ग ACIH के बराबर होना चाहिए= AC<sup>2</sup>.
# इन दो परिणामों को जोड़कर, AB<sup>2</sup> + AC<sup>2</sup> = BD × BK + KL × KC
# क्यूंकि BD = KL, BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
# इसलिए एबी AB<sup>2</sup> + AC<sup>2</sup> = BC<sup>2</sup>, क्यूंकि CBDE एक वर्ग है.
यह सबूत यूक्लिड के ''तत्वों''
=== गारफील्ड के सबूत ===
[[जेम्स ए. गारफील्ड]] (परवर्ती संयुक्त राज्य अमेरिका के राष्ट्रपति) को एक उपन्यास बीजीय सबूत द्वारा श्रेय दिया गया है:<ref>सिर, एंजी.</ref>
Line 89 ⟶ 87:
इसलिए कर्ण पर वर्ग = अन्य दो पार्श्वों के वर्गों का जोड़ है.
=== व्यवकलन द्वारा सबूत ===
इस सबूत में, कर्ण पर वर्ग प्लस त्रिकोण की 4 प्रतियां को अन्य दो पार्श्वों में वर्गों के रूप में जोड़ सकते हैं प्लस त्रिकोण की 4 प्रतियां.यह सबूत चीन से दर्ज की गई है.[[
=== समानता सबूत ===
ऊपर यूक्लिड के सबूत के चित्र से, हम तीन [[समानता (ज्यामिति)|समान]] आंकड़ों को देख सकते हैं, प्रत्येक में "एक वर्ग के ऊपर त्रिकोण" है.क्यूंकि बड़ा त्रिकोण दो छोटे त्रिकोण से बना है, उसका क्षेत्रफल इन दो छोटे का जोड़ है.समानता से, तीन वर्ग एक दूसरे के साथ उसी अनुपात में हैं जैसे वह तीन त्रिकोण, और इसी तरह के बड़े वर्ग का क्षेत्रफल दो छोटे वर्गों के क्षेत्रफल का जोड़ है.
=== विपर्यय से सबूत ===
[[
इस पायथागॉरियन प्रमेय का तीसरा ग्राफिक चित्रण में (दाहिने में पीले और नीले रंग में) कर्ण का वर्ग पार्श्वों के वर्ग में फिट बैठता है.एक संबंधित सबूत यह दिखा सकता है की पुनः स्थापित भाग मूल के समान हैं और, क्यूंकि समान का जोड़ समान है, की उनके क्षेत्र भी समान हैं.यह दिखाने के लिए की एक वर्ग ही परिणाम है, हमे नए पार्श्वों की लंबाई को ''c''
=== बीजीय सबूत ===
इस सबूत का बीजीय भिन्नरूप निम्न तर्क द्वारा प्रदान किया गया है.चित्रण को देखते हुए जो एक बड़ा वर्ग है जिसके कोनों में समान समकोण त्रिकोण है, इन चार त्रिकोण में प्रत्येक का क्षेत्र ''C''
:<math>\frac{1}{2} AB.</math>
इन त्रिकोण के ''A'' -पार्श्व कोण और ''B'' -पार्श्व कोण [[अनुपूरक कोण]] हैं, नीले क्षेत्र के प्रत्येक कोण समकोण हैं, इस क्षेत्र को एक वर्ग बनाते हुए जिसके पार्श्व की लंबाई ''C''
:<math>4\left(\frac{1}{2}AB\right)+C^2.</math>
हालांकि, बड़े वर्ग के पार्श्वों की लंबाई {{nowrap|''A'' + ''B''}}[7], हम उसके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं जैसे {{nowrap|(''A'' + ''B'')<sup>2</sup>}}[8], जो {{nowrap|''A''<sup>2</sup> + ''2AB'' + ''B''<sup>2</sup>}}[9] में विस्तारित होता है.
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: <math>A^2+2AB+B^2=4\left(\frac{1}{2}AB\right)+C^2.\,\!</math>
::(4 का वितरण)<math>A^2+2AB+B^2=2AB+C^2\,\!</math>
:::(''2AB''
=== विभेदक समीकरणों द्वारा सबूत ===
पायथागॉरियन प्रमेय में पहुंचा जा सकता है निम्नलिखित चित्र के अध्ययन से की एक पार्श्व में परिवर्तन कैसे कर्ण में एक परिवर्तन के उत्पादन कर सकता है और एक थोडा [[कैलकुलस|कलन]] का उपयोग करके.<ref>हार्डी.</ref>
[[
पार्श्व ''a''
:<math>\frac {da}{dc} = \frac {c}{a}</math>
Line 126 ⟶ 124:
[[चरों की जुदाई|चर के वियोजन]] पर.
पार्श्व ''b''
समेकित देता है
Line 132 ⟶ 130:
:<math>c^2 = a^2 + \mathrm{constant}.\ \,\!</math>
जब ''a''
:<math>c^2 = a^2 + b^2.\,</math>
जैसे देखा जा सकता है, परिवर्तन और पार्श्वों के बीच विशेष [[समानता (गणित)|अनुपात]] के कारण है यह वर्ग जबकि पार्श्वों में परिवर्तन की स्वतंत्र योगदान का परिणाम राशि है जो ज्यामितीय साक्ष्यों से स्पष्ट नहीं है.इस दिए गए अनुपात से यह दिखाया जा सकता है की पार्श्वों में परिवर्तन पार्श्वों से प्रतीपानुपाती अनुपात हैं.इस [[विभेदक समीकरण]] सुझाव देता है की यह प्रमेय संबंधित परिवर्तन के कारण है और इसके व्युत्पत्ति लगभग [[लाइन इंटीग्रल|लाइन अभिन्न]] अभिकलन के समान है.
यह मात्रा ''da''
== विपर्याय ==
इस प्रमेय का विपर्याय भी सच है:<blockquote>किसी भी तीन धनात्मक संख्या ''a'' , ''b'' , और ''c''
यह विपर्याय यूक्लिड के ''तत्वों''
''ABC''
पायथागॉरियन प्रमेय के विपर्याय का एक [[परिणाम|अनुमान]] है की निर्धारण करने का एक सरल तरीका है की यदि एक त्रिकोण समकोण, ओब्ट्युस, या अक्यूट है, इस प्रकार से.जहाँ ''c''
* अगर {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>}}, तो त्रिकोण समकोण है.
* अगर {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> > ''c''<sup>2</sup>}}, तो त्रिकोण ओब्ट्युस है.
* अगर {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> < ''c''<sup>2</sup>}}, तो त्रिकोण अक्यूट है.
== इस प्रमेय परिणाम और उपयोग ==
=== पायथागॉरियन ट्रिपल ===
{{main|Pythagorean triple}} एक पायथागॉरियन ट्रिपल में तीन सकारात्मक पूर्णांक हैं ''a'' , ''b'' , और ''c'' , जैसे की {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>}}.अन्य शब्दों में, एक पायथागॉरियन ट्रिपल एक समकोण के पार्श्वों की लंबाई का वर्णन करता है जहाँ तीनों पार्श्व की पूर्णांक लंबाई है.उत्तरी यूरोप के बड़े पत्थरों से बने स्मारकों से साक्ष्य यह दिखाते हैं कि ऐसे ट्रिपल लिखने की खोज से पहले से जाने जानते थे.इस तरह के ट्रिपल सामान्यतः से लिखे गए हैं {{nowrap|(''a'', ''b'', ''c'')}}.कुछ प्रसिद्ध उदाहरण हैं {{nowrap|(3, 4, 5)}} और {{nowrap|(5, 12, 13)}}
=== आदिम पायथागॉरियन के ट्रिपल की 100 तक की सूची ===
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)
=== तर्कहीन संख्या का अस्तित्व ===
पायथागॉरियन प्रमेय के परिणामों में से एक है कि [[आनुपातिक (गणित)|तारतम्यहीन]] लंबाई (ie. उनके अनुपात [[तर्कहीन संख्या]] में है), जैसे की 2 का वर्गमूल, बनाया जा सकता है.एक समकोण जिसके पैर दोनों एक इकाई के बराबर हैं उसके कर्ण की लंबाई 2 का वर्गमूल है.यह सबूत कि 2 का वर्गमूल तर्कहीन है लंबे समय से आयोजित विश्वास के विपरीत था कि सब कुछ तर्कसंगत था.पौराणिक कथा के अनुसार, [[हिप्पासुस]], जिसने दो के वर्गमूल की तर्कशून्यता सबसे पहले साबित करी थी, उसे परिणाम के रूप में समुद्र में डूब गया था.<ref>हीथ, ग्रंथ I, pp.</ref><ref>65, 154, स्टिलवेल, p.</ref><ref>9-8.</ref>
=== काटीज़ियन निर्देशांक में दूरस्थ ===
काटीज़ियन निर्देशांक में दूरस्थ फार्मूला को पायथागॉरियन प्रमेय से से प्राप्त किया गया है.अगर (''x'' <sub>0</sub>, ''y'' <sub>0</sub>) और (''x'' <sub>1</sub>, ''y'' <sub>1</sub>) चौरस में अंक हैं, तो उनके बीच की दूरी, जिसे [[यूक्लिडियन दूरी|युक्लीडियन दूरी]] भी कहा जाता है, जो दिया जाता है
Line 170 ⟶ 168:
:<math>\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.</math>
== सामान्यकरण ==
[[
[[यूक्लिड]] के [[यूक्लिड के तत्व|''तत्वों'']] में पायथागॉरियन प्रमेय को सामान्यकृत किया गया था:
Line 180 ⟶ 178:
:
:: <math>a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, \,</math>
::जहां θ पार्श्वों ''a''
:::जब θ 90 डिग्री हो, तो Cos(θ) = 0, तो फार्मूला सामान्य पायथागॉरियन प्रमेय में बन जाता है.
इस [[जटिल संख्या|जटिल]] [[आंतरिक उत्पाद जगह|आंतरिक उत्पाद अंतरिक्ष]] में दो [[वेक्टर जगह|वेक्टर]] '''v'''
:
::<math>\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 + 2\,\mbox{Re}\,\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle.</math>
विशेष रूप से,||'''v'''
गणितीय प्रेरण का प्रयोग करके, पिछला परिणाम किसी परिमित संख्या के जोडों में आयतीय वेक्टर तक बढ़ाया जा सकता है. के किसी भी परिमित [[आयतीय|संख्या को बढ़ाया]] जा सकता है.'''v''' <sub>1</sub>, '''v''' <sub>2</sub>,…, '''v''' <sub>n</sub> को वेक्टर मानते हैं एक आंतरिक उत्पाद अंतरिक्ष में जिसमें <'''v''' <sub>i</sub>, '''v''' ''j'' > = 0 जब 1 ≤ ''i''
:
::<math>\left\|\,\sum_{k=1}^{n}\mathbf{v}_k\,\right\|^2 = \sum_{k=1}^{n} \|\mathbf{v}_k\|^2.</math>
इस ''अनंत-आयामी''
जब ऊपर के प्रमेय वेक्टर के बारे में ठोस ज्यामिति में पुनः लिखा जाता है, तो यह निम्नलिखित प्रमेय बन जाता है.यदि AB और BC रेखाएं B में समकोण बनाते हैं, BC और कद रेखाएं C में समकोण बनाते हैं, और अगर CD अधोलंब के अधोलंब है जिसमें AB और BC रेखाएं शामिल है, तो AB, BC, और CD की लम्बाई के वर्ग का जोड़ AD के वर्ग के जोड़ के बराबर है. यह सबूत तुच्छ है.
Line 201 ⟶ 199:
चार और अधिक आयामों में इन प्रमेयों के अनुरूप भी हैं .
जिन त्रिकोण में तीन [[कोण|अक्युट कोण]] होते हैं, ''α''
जिन त्रिकोण में एक [[कोण|ओब्ट्युस कोण]] होता है, ''α''
[[एड्स्जर डिजक्स्त्रा]] ने इस प्रस्ताव को अक्युट, समकोण और ओब्ट्युस त्रिकोण के बारे में इस भाषा में कहा है:
:
::[[साइन प्रकार्य|sgn]](''α''
जहाँ कोण ''α''
=== बिना युक्लीडियन ज्यामिति के पायथागॉरियन प्रमेय ===
युक्लीडियन ज्यामिति के सिद्धांत से पायथागॉरियन प्रमेय से प्राप्त हुआ है, वास्तव में, ऊपर बताए पायथागॉरियन प्रमेय का युक्लीडियन प्रकार बिना [[यूक्लिडियन ज्यामिति|युक्लीडियन ज्यामिति]] के नहीं होता है.(यह वास्तव में यूक्लिड के समांतर (पांचवां) स्वसिद्ध के बराबर दिखाया गया है.)उदाहरण के लिए, [[गोलाकार ज्यामिति|गोलीय ज्यामिति]] में, ओक्टेट से सीमित इकाई क्षेत्र के समकोण त्रिकोण के तीनों पार्श्वों की लंबाई <math>\scriptstyle \pi/2</math> के बराबर है; युक्लीडियन पायथागॉरियन प्रमेय का उल्लंघन करती है क्यूंकि <math>\scriptstyle \pi/2</math>
इसका मतलब है की बिना युक्लीडियन प्रमेय में, पायथागॉरियन प्रमेय को युक्लीडियन प्रमेय से एक अलग रूप लेना चाहिए.यहाँ दो मामलों पर विचार करना पड़ेगा- [[गोलाकार ज्यामिति]] और [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति|अतिशयोक्तिपूर्ण समतल ज्यामिति]] हैं; हर मामले में, युक्लीडियन मामले की तरह, उचित कोसाइन के नियम से परिणाम निकलता है:
एक गोला जिसकी त्रिज्या ''R''
:<math> \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right).</math>
यह समीकरण [[कोसाइन का गोलाकार कानून|कोसाइन के गोलाकार कानून]] का एक विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है.इस कोसाइन समारोह के लिए [[मैकलौरिन श्रृंखला]] का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि त्रिज्या ''R''
इस [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति|अतिशयोक्तिपूर्ण समतल]] में किसी भी त्रिकोण के लिए (गौस्सियन [[वक्रता]] -1 के साथ), पायथागॉरियन प्रमेय यह रूप लेता है
Line 227 ⟶ 225:
जहाँ cosh के अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन है.
इस प्रकार्य के लिए मैकलौरिन श्रृंखला का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि जिस तरह अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण बहुत छोटी हो जात है (अर्थात जब ''a'' , ''b'' , और ''c''
[[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]] में, एक समकोण त्रिकोण के लिए भी लिखा जा सकता है,
Line 243 ⟶ 241:
:<math>\frac{2a}{1+a^2} \frac{2b}{1+b^2}=\frac{2c}{1+c^2}</math>
जहाँ ''a'' , ''b'' , and ''c''
=== 2 से अधिक आयामों में ===
3 आयामों में अंक { and { के बीच की दूरी √([√((a-d)<sup>2</sup>+(b-e)<sup>2</sup>)]<sup>2</sup>+(c-f)<sup>2</sup>) = √((a-d)<sup>2</sup>+(b-d)<sup>2</sup>+(c-f)<sup>2</sup>) है, और इसी प्रकार 4 या अधिक आयामों के लिए.
=== जटिल अंकगणितीय में: मान्य नहीं ===
पायथागॉरस फार्मूला को [[काटीज़ियन|कार्टीज़इयन]] निर्देशांक समतल में दो अंकों के बीच की दूरी पता करने के लिए प्रयोग किया जाता है, और मान्य है अगर सब निर्देशांक असली हैं: अंक {2+(b-d)<sup>2</sup>).लेकिन [[जटिल अंकगणितीय|जटिल निर्देशांक]] के साथ: उदाहरण, अंक { और {i,0} के बीच की दूरी शून्य बनेगी, जिसका परिणाम है [[रिड़कशियो एड अबसरडम|''रिडाक्शियो एड़ अब्सुर्डम'']].यह इसलिए है क्योंकि यह फार्मूला पायथागॉरस की प्रमेय पर निर्भर है, जो अपने हस सबूत में क्षेत्रफल पर निर्भर है, और क्षेत्रफल त्रिकोण पर निर्भर है और अन्य ज्यामितीय आंकडों पर जो अंदर को बहार से अलग करती है, जो मुमकिन नहीं होता अगर निर्देशांक जटिल होते.
== इतिहास ==
{{Refimprovesect|date=April 2008}}
[[
इस प्रमेय का इतिहास चार भागों में बाँटा जा सकता है: [[पायथागॉरियन ट्रिपल]] का ज्ञान, [[समकोण त्रिकोण]] पार्श्वों के बीच के रिश्ते का ज्ञान, आसन्न कोण के बीच संबंधों के ज्ञान, और प्रमेय के सबूत.
Line 266 ⟶ 264:
''[[बौधयाना]][[सुल्बा सूत्र]]'' , जिसकी विभिन्न तारीक 8 वीं शताब्दी BC और 2 वीं शताब्दी BC के बीच दिए गए हैं, [[भारत का इतिहास|भारत]] में, जिसमें [[पायथागॉरियन ट्रिपल]] की एक सूची शामिल है जिसकी खोज बीजीय से हुई है, पायथागॉरियन प्रमेय का एक बयान, और एक [[समद्विबाहु]] समकोण त्रिकोण के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का [[ज्यामिति|ज्यामितिक]] सबूत है.
''[[अपास्ताम्बा]] सुल्बा सूत्र''
[[पायथागॉरस]] ने, जिसकी तारीखें सामान्यतः 569-475 BC दी गई है, पायथागॉरियन ट्रिपल के निर्माण के लिए बीजीय तरीके का इस्तेमाल करके, [[यूक्लिड]] में [[प्रोक्लुस|प्रोक्लोस]] की कमेंट्री के अनुसार.प्रोक्लोस ने, तथापि, 410 और 485 AD के बीच लिखा था. [[टी.एल.हीथ|सर थॉमस एल. हीथ]] के अनुसार, पायथागॉरस को प्रमेय का कोई रोपण नहीं था पाँच सदियों तक पायथागॉरस के जीवित रहने तक.हालांकि, जब [[प्लूटार्क|प्लूटार्च]] और [[सिसरौ|सिसेरौ]] जैसे लेखकों ने पायथागॉरस को प्रमेय ठहराया, उन्होंने इस तरह से किया जो कि रोपण व्यापक रूप से जाना जाए और निस्संदेह रहे.<ref name="Heath, Vol I, p. 144" />
Line 278 ⟶ 276:
काफी बहस है की क्या पायथागॉरियन प्रमेय की खोज एक या कई बार हुई थी.बोयर (1991) का सोचना है की शुल्बा सूत्र में पाए गए तत्व मेसोपोटामिया व्युत्पत्ति के हो सकते हैं.<ref>{{cite book|last=Boyer|authorlink=Carl Benjamin Boyer|year=1991|chapter=China and India|pages=207|quote=we find rules for the construction of right angles by means of triples of cords the lengths of which form Pythagorean triages, such as 3, 4, and 5, or 5, 12, and 13, or 8, 15, and 17, or 12, 35, and 37. However all of these triads are easily derived from the old Babylonian rule; hence, Mesopotamian influence in the ''Sulvasutras'' is not unlikely. Aspastamba knew that the square on the diagonal of a rectangle is equal to the sum of the squares on the two adjacent sides, but this form of the Pythagorean theorem also may have been derived from Mesopotamia. [...] So conjectural are the origin and period of the ''Sulbasutras'' that we cannot tell whether or not the rules are related to early Egyptian surveying or to the later Greek problem of alter doubling. They are variously dated within an interval of almost a thousand years stretching from the eighth century B.C. to the second century of our era.}}</ref>
== पायथागॉरियन प्रमेय के सांस्कृतिक संदर्भ ==
पायथागॉरियन प्रमेय पूरे इतिहास में कई किस्म की मास मीडिया में संदर्भित है.
* [[मेजर-जनरल के गीत|मेजर-जनरल के संगीत]] का एक पद्य [[गिल्बर्ट और सुलिवेन|गिलबर्ट और सुलिवेन]] संगीतिक [[पेनज़ैन्स के समुद्री डाकू]], "द्विपद प्रमेय के बारे में मैं बहुत से समाचार से भरा हुआ हूँ, कर्ण के वर्ग के कई हंसमुख तथ्यों के साथ", प्रमेय के तिरछा संदर्भ के द्वारा.
* [[विज़र्ड ऑफ़ ओज़ (1939 फ़िल्म)|''[[जादूगर (ओज़)|विज़र्ड]] ऑफ़ ओज़'' ]] का [[बिजूखा (ओज़)|बिजूखा]] इस प्रमेय का एक और अधिक विशिष्ट संदर्भ बनाता है जब उसे जादूगर से डिप्लोमा प्राप्त होता है.उसने तुरंत अपने "ज्ञान" प्रदर्शन एक वध और गलत संस्करण पढ़ने के द्वारा: "एक समद्विबाहु त्रिकोण के किसी भी दो पार्श्वों के वर्ग जड़ों का जोड़ शेष पार्श्वों के वर्ग जड़ों के बराबर है. ओह, आनन्द, ओह, उमंग.मुझेमें दिमाग है
! "बिजूखा द्वारा प्रदर्शित "ज्ञान" गलत है.सही बयान "एक समकोण त्रिकोण के पैरों के वर्गों का जोड़ बाकी पार्श्वों के वर्ग के बराबर हैं" होता.<ref>{{cite web|url=http://www.geocities.com/hollywood/hills/6396/ozmath.htm|title=The Scarecrow's Formula}}</ref>
* [[द सिंपसन्स|''द सिंपसन्स'']] के एक प्रकरण में, [[हेनरी किसिंजर]] के चश्मे को [[स्प्रिंगफील्ड परमाणु ऊर्जा संयंत्र|स्प्रिंगफील्ड में परमाणु ऊर्जा संयंत्र]] के शौचालय में ढूँढने के बाद, [[होमर सिम्पसन|होमर]] उन्हें पहनता है और उद्धरण करता है ओज़ बिजूखा के सूत्र का वध संस्करण.पास में एक शौचालय दुकान में एक आदमी रोकता है और चिलाता है "यह एक ''समकोण''
! "(वर्ग जड़ों के बारे में टिप्पणी कभी सही नहीं हुआ.)
* इसी तरह, [[Apple Inc.|Apple]] [[MacBook]] की भाषण सॉफ्टवेयर बिजूखा के गलत बयान को संदर्भित करता है.यह भाषण का नमूना है जब आवाज सेटिंग राल्फ को चुना जाता है.
* [[फ्रीमेसनरी|संगतराशों]] में, [[विगत के मास्टर (राजमिस्री के कार्य से)|विगत के मास्टर]] का एक प्रतीक यूक्लिड के 47 प्रस्ताव से एक चित्र है, पायथागॉरियन प्रमेय के यूक्लिड के सबूत में प्रयुक्त.राष्ट्रपति गारफील्ड एक संगतराश थे.
* 2000 में, [[युगांडा]] ने एक समकोण त्रिकोण के आकार का एक सिक्का जारी किया.सिक्के की पूँछ में पैथागोरस और पायथागॉरियन प्रमेय का चित्रण था, "पायथागॉरस मिलेनियम" के उल्लेख के साथ.<ref>{{cite web|url=http://homepage.sefanet.ch/meylan-sa/saviez-vous1.htm|title=Le Saviez-vous ?}}</ref> [[ग्रीस]], [[जापान]], [[सैन मैरिनो]], [[सियरा लेओन]], और [[सूरीनाम]] [[डाक टिकट]] जारी किए हैं पायथागॉरस और पायथागॉरियन प्रमेय के चित्रण के साथ.<ref>{{cite web|url=http://members.tripod.com/jeff560/index.html|title=Images of Mathematicians on Postage Stamps|first=Jeff|last=Miller|date=[[2007-08-03]]|accessdate=2007-08-06}}</ref>
* [[नील स्टीफेंसन|नील स्टीफेनसन]] के विचारवान कल्पना [[ऐनथम|''ऐनथम'']] में, पायथागॉरियन प्रमेय को "अड्राखोनिक प्रमेय" के रूप में संदर्भित किया गया है.इस प्रमेय का एक ज्यामितिक सबूत एक विदेशी जहाज की एक तरफ गणित की उनकी समझ प्रदर्शित करने के लिए प्रदर्शित किया.
== यह भी देखें ==
<div>
* [[त्रिकोण विषयों की सूची]]
* [[बौधयाना]]
* [[कात्यायना (गणितज्ञ)|कात्यायना]]
* [[रेखीय बीजगणित]]
* [[आयतीय]]
* [[समानांतर चतुर्भुज कानून]]
* [[सिंथेटिक ज्यामिति]]
* [[फर्मेट का अन्तिम प्रमेय|फर्मेट की अन्तिम प्रमेय]]
* [[पायथागॉरियन उम्मीद]]
* [[अनिकर्ण संख्या]]
* [[पायथागॉरियन प्रमेय सबूत (तर्कसंगत त्रिकोणमिति)]]
</div>
== नोट्स ==
{{reflist|2}}
== संदर्भ ==
<div class="references">
* बेल, जॉन एल., [http://publish.uwo.ca/~jbell/ ''सुगम की कला: एक प्रारंभिक सर्वेक्षण गणित की संकल्पनात्मक विकास,'' ] क्लुव्र, 1999 में.ISBN 0-7923-5972-0.
* यूक्लिड, ''यह तत्व,''
* हार्डी, माइकल, "पायथागॉरस को मुश्किल बनाया गया".{}गणितीय बुद्धिजीवी, '''10'''
* [[टी.एल.हीथ|हीथ, सर थॉमस]], ''ग्रीक गणित का इतिहास''
* लूमिस, एलीशा स्कॉट, ''पायथागॉरियन प्रस्ताव.''
* मोर, एली, ''पायथागॉरियन प्रमेय: एक 4000 साल का इतिहास.'' प्रिंसटन, न्यू जर्सी: प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 2007, ISBN 978-0-691-12526-8.
* स्टिलवेल, जॉन, ''गणित और उसका इतिहास,''
* स्वेट्ज़, फ्रैंक, काओ, टी.आइ.,''पायथागॉरस चीनी था?: समकोण त्रिकोण सिद्धांत की प्राचीन चीन एक परीक्षा,''
* वॉन ड़र वार्डेन, बी.एल., ''प्राचीन सभ्यताओं में ज्यामिति और बीजगणित,''
</div>
== बाह्य लिंक ==
{{Commonscat|Pythagorean theorem}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml पायथागॉरियन प्रमेय] ([[कट-द-नॉट|कट-डी-नॉट]] से 70 से अधिक सबूत)
* इंटरैक्टिव लिंक:
** [[जावा]] में पायथागॉरियन प्रमेय का [http://www.sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html इंटरएक्टिव सबूत]
** [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Perigal.shtml ][[जावा]] में पायथागॉरियन प्रमेय का एक और इंटरएक्टिव सबूत
** इंटरैक्टिव एनीमेशन के साथ [http://www.mathopenref.com/pythagorastheorem.html पायथागॉरियन प्रमेय]
** एनिमेटेड, अनि-बीजीय, और [http://math.ucr.edu/~jdp/Relativity/Pythagorus.html उपयोगकर्ता-गति] में पायथागॉरियन प्रमेय
* {{MathWorld|title=Pythagorean theorem|urlname=PythagoreanTheorem}}
* [http://www.gogeometry.com/pythagoras/right_triangle_formulas_facts.htm पायथागॉरियन प्रमेय और समकोण त्रिकोण के फ़ार्मुले]
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[[be-x-old:Тэарэма Піфагора]]
[[eu:Pitagorasen Teorema]]
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