"लाप्लास रूपान्तर": अवतरणों में अंतर
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'''लाप्लास रूपान्तर''' (Laplace transform) एक प्रकार का [[समाकल रूपान्तर]]
लाप्लास रूपान्तर, प्रसिद्ध गणितज्ञ खगोलविद [[पिएर सिमों लाप्लास]] के नाम पर रखा गया है। लाप्लास रूपान्तर का उपयोग
== परिभाषा ==
: <math>F(s)
= \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
पंक्ति 9:
अनुबन्ध यह है कि उपरोक्त समाकलन का अस्तित्व हो।
उपरोक्त प्रकार से परिभाषित लाप्लास रूपान्तर
: <math>F_B(s)
पंक्ति 15:
=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.</math>
== गुण ==
* रैखिकता
== प्रमुख फलनों के लाप्लास रूपान्तर ==
{| class="wikitable"
|-
! फलन
! समय डोमेन <br /> <math>f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}</math>
! लाप्लास s-डोमेन <br /> <math>F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}</math>
! अभिसरण क्षेत्र (Region of convergence)
! सन्दर्भ
पंक्ति 39:
|| <math> e^{-\tau s} \ </math>
||
|| time shift of<br />unit impulse
|- style="text-align:center;"
पंक्ति 53:
|| <math> { e^{-\tau s} \over s } </math>
|| Re(''s'') > 0
|| time shift of<br />unit step
|- style="text-align:center;"
पंक्ति 60:
|| <math>\frac{1}{s^2}</math>
|| Re(''s'') > 0
|| integrate unit<br />impulse twice
|- style="text-align:center;"
पंक्ति 67:
|| <math> { n! \over s^{n+1} } </math>
|| Re(''s'') > 0 <br /> (''n'' > −1)
|| Integrate unit<br />step n times
|- style="text-align:center;"
पंक्ति 88:
|| <math>\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}</math>
|| Re(''s'') > −α
|| Integrate unit step,<br />apply frequency shift
|- style="text-align:center;"
पंक्ति 94:
|| <math>(t-\tau)^n e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau) </math>
|| <math> \frac{n! \cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} </math> || Re(''s'') > −α
|| Integrate unit step,<br />apply frequency shift,<br />apply time shift
|- style="text-align:center;"
पंक्ति 101:
|| <math> { 1 \over s+\alpha } </math>
|| Re(''s'') > −α
|| Frequency shift of<br />unit step
|- style="text-align:center;"
पंक्ति 108:
|| <math> { 2\alpha \over \alpha^2 - s^2 } </math>
|| −α < Re(''s'') < α
|| Frequency shift of<br />unit step
|- style="text-align:center;"
पंक्ति 115:
|| <math>\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} </math>
|| Re(''s'') > 0
|| Unit step minus<br />exponential decay
|- style="text-align:center;"
पंक्ति 167:
|- style="text-align:center;"
| [[Bessel function]] <br /> of the first kind, <br /> of order ''n''
|| <math> J_n( \omega t) \cdot u(t)</math>
|| <math>\frac{ \left(\sqrt{s^2+ \omega^2}-s\right)^{n}}{\omega^n \sqrt{s^2 + \omega^2}}</math>
पंक्ति 200:
|}
== सन्दर्भ ==
<references/>
== इन्हें भी देखें ==
* [[जेड रूपान्तर]] (Z-transform)
== बाहरी कड़ियाँ ==
[[श्रेणी:समाकलनी रूपान्तर]]
| |||