"प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धान्त": अवतरणों में अंतर
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संजीव कुमार (वार्ता | योगदान) |
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चिरसम्मत क्षेत्र सिध्दांत दिक्-काल के अध्ययन क्षेत्र में परिभाषित फलन है <ref name="tong1">डेविड टोंग, ''[http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धान्त पर व्याख्यान]'', पाठ 1.</ref> दो परिघटनाएं जो जो कि चिरसम्मत सिद्धान्त द्वारा वर्णित की जा सकती हैं वो हैं [[न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का सिद्धान्त]] '''g'''('''x''', ''t'') (यहाँ g, x और t का सतत् फलन है) और चिरसम्मत विद्युत-चुम्बकत्व जिसे विद्युत क्षेत्र '''E'''('''x''', ''t'') और चुम्बकीय क्षेत्र '''B'''('''x''', ''t'') से वर्णित किया जा सकता है। क्योंकि ये क्षेत्र समष्टि के प्रत्येक बिन्दु पर सिद्धान्तन विशिष्ट मान रख सकते हैं, इनकी स्वतंत्रता की विमा अनन्त होती है।<ref name="tong1" />
==== लाग्रांजियन
प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धान्त में अक्सर चिरसम्मत सिद्धान्त के लाग्रांजियन सूत्रों का उपयोग होता है। ये सूत्र किसी क्षेत्र के प्रभाव में कण की गति का अध्ययन करने के लिए चिरसम्मत यांत्रिकी में उपयोग होने वाले लाग्रांजियन सूत्रों के अनुरूप हैं। चिरसम्मत क्षत्र सिद्धान्त में इन्हें लाग्रांजियन घनत्व, <math>\mathcal{L}</math>, जो कि क्षेत्र φ('''x''',''t''), और इसके प्रथम अवकलज (∂φ/∂''t'' and ∇φ) का फलन है पर आयलर-लाग्रांजियन क्षेत्र सिद्धान्त समीकरण लागू की जाती है। निर्देशांक बिन्दुओं को (''t'', '''x''') = (''x''<sup>0</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>3</sup>) = ''x''<sup>μ</sup> लिखने पर, आयलर-लाग्रांजियन गति की समीकरण <ref name="tong1" />
:<math>\frac{\partial}{\partial x^\mu} \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\phi/\partial x^\mu)}\right] - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0,</math>
जहाँ आइनस्टाइन पद्धति के अनुसार μ चर के सापेक्ष इन्हे जोड़ा जाता है।
इस समीकरण को हल करने पर हमें क्षेत्र की "गति की समीकरण" प्राप्त होती हैं।<ref name="tong1" /> उदाहरण के लिए लाग्रांजियन घनत्व से आरम्भ करने पर
:<math> \mathcal{L}(\phi,\nabla\phi) = -\rho(t,\mathbf{x})\,\phi(t,\mathbf{x}) - \frac{1}{8\pi G}|\nabla\phi|^2,</math>
इस पर आयलर-लाग्रांजियन समीकरण लागू करने पर हमें गति की समीकरण प्राप्त होती है-
:<math> 4\pi G \rho(t,\mathbf{x}) = \nabla^2 \phi.</math>
=== इकाई- और बहु-कण प्रमात्रा यांत्रिकी ===
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