"प्राचलिक समीकरण": अवतरणों में अंतर

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एक [[वृत्त]] का समीकरण है जिसका केन्द्र (०, ०) पर है एवं त्रिज्या १ है।
 
प्राचलिक समीकरण वास्तव में एक समीकरण न होकर कई समीकरणों का समुच्चय होता है। किसी भी [[सरल रेखा]] या वक्र को प्राचलिक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। यह भी उल्लेखनीय है कि प्राचल कभी भी अनन्य (unique) नहीं होते। वास्तव में प्राचल का चुनाव विभिन्न तरह से किया जा सकता है और ऐसे प्राचल का चुनाव करना अच्छा रहता है जिससे समीकरणों का स्वरूप सरल दिखे तथा गणना करने में आसानी हो।
 
==कुछ प्रमुख वक्रों के प्राचलिक समीकरण==
कार्तीय निर्देशांकों में सरल रेखा का सामान्य समीकरण यह है:
:<math>ax+by+c=0</math>
यही सरल रेखा प्राचलिक समीकरणों के रूप में निम्नलिखित है:
:<math>x = x_0 + \alpha t</math>
:<math>y = y_0 + \beta t</math>
तथा प्राचल ''t'' का मान निम्नलिखित है:
<math>t=\frac{x-x_0}{\alpha}</math> (<math>\alpha=b</math> e <math>\beta=-a</math>)
 
[[परवलय]] का समीकरण <math>y=x^2</math> प्राचलिक रूप में निमनवत लिखा जा सकता है:
:<math>x = t</math>
:<math>y = t^2</math>
 
मूल पर केन्द्र तथा ''r'' त्रिज्या वाले वृत्त (<math>x^2+y^2=r^2</math>) का प्राचलिक समीकरण है:
:<math>x = r \cos(t)</math>
:<math>y = r \sin(t)</math>
 
[[दीर्घवृत्त]] का प्राचलिक समीकरण:
:<math>x = a\,\cos t</math>
:<math>y = b\,\sin t</math>
जहाँ <math>0 \leq t < 2\pi</math> प्राचल की सीमाएँ हैं।
[[चित्र:Parametric Helix.png|right|thumb|250px|त्रिबीमीय हेलिक्स]]
कुछ ज्यामितीय वक्र ऐसे हैं जिनको कार्तीय निर्देशांकों में अभिव्यक्त करना बहुत कठिन है किन्तु प्राचलिक समीकरणों के रूप में बड़ी सरलता से अभिव्यक्त हो जाते हैं:
:<math>x = a \cos(t)</math>
:<math>y = a \sin(t)</math>
:<math>z = bt</math>
तथा <math>a > 0\;</math>, <math>t\in[0,2\pi)\;\,</math>
यह त्रिबीमीय हेलिक्स (three dimensional helix) का प्राचलिक समीकरण है जिसकी त्रिज्या ''a'' है तथा प्रत्येक चक्र में 2π''b'' इकाई z-दिशा में आगे बढ़ता है।
 
इसी तरह, [[टोरस]] को निम्नलिखित प्राचलिक समीकरणों द्वारा सरलता से अभिव्यक्त किया जा सकता है:
[[चित्र:Torus.png|thumb|150px|right|R=2 i तथा r=1/2 वाला 'टोरस']]
 
:<math>x = \cos(t)(R + r \cos(u))\;</math>
:<math>y = \sin(t)(R + r \cos(u))\;</math>
:<math>z = r \sin(u)\;,</math>
 
तथा <math>t \in [0 , 2 \pi ),</math>
<math>u \in [0 , 2 \pi ).</math>