"रैखिक समीकरण निकाय": अवतरणों में अंतर

रैखिक समीकरणों के निकाय का हल निकालना गणित की सबसे पुराने कर्मों में से एक है। बहुत से क्षेत्रों की समस्याओं को हल करते समय रैखिक समीकरण निकाय से सामना होता है। जैसे [[आंकिक संकेत प्रसंस्करण]], [[रैखिक इष्टतमकरण]]। अरैखिक गणितीय समस्याओं के रेखीकरण से भी रैखिक समीकरण निकाय प्राप्त होता है। इनको हल करने के लिए [[गाउस विलोपन|गाउस की विलोपन विधि]], [[चोलेस्की अपघटन]] (Cholesky decomposition) या LU अपघटन द्वारा दक्षतापूर्वक हल किया जा सकता है। सरल स्थितियों में [[क्रैमर का नियम]] काम में लाया जा सकता है।

 

सामान्यीकरण की दृष्टि से, '''n''' अज्ञात राशियों में '''m''' रैखिक समीकरणों का निकाय निम्नलिखित ढंग से लिखा जा सकता है:

 

\end{array}\right)</math>

 

रैखिक समीकरणों के निकाय का हल निकलने के लिए सन् १७५० में क्रैमर ने एक प्रत्यक्ष विधि (direct method) बताया। यह गुणाण्क मैट्रिक्स के व्युत्क्रमण (इन्वर्सन) पर आधारित है।

जहाँ <math> A_i </math> वह मैट्रिक्स है जो <math>A</math> के ''i'''वें कॉलम के स्थान <math>b</math> के अवयवों को रखने से प्राप्त होती है।

 

:<math>\begin{matrix}

\color{blue}{4}\,\color{black}x_1+\color{blue}{2}\,\color{black}x_2=\color{OliveGreen}{24}\\

 

 

 

:<math>\begin{matrix}

= \frac{-14}{1} = -14</math>

 

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