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"पायथागॉरियन प्रमेय": अवतरणों में अंतर

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{{pp-semi-indef|small=yes|expiry=January 27, 2009}}[[चित्र:Pythagorean.svg|thumb|पायथागॉरियन प्रमेय: दो वर्गों के क्षेत्रों का जोड़ (a और b) पैरों पर कर्ण पर वर्ग के क्षेत्र (c) बराबर होता है.]]{{Trigonometry}} [[गणित]] में, '''पायथागॉरियन प्रमेय''' ([[अमेरिकी अंग्रेज़ी|अमेरिकी अंग्रेजी]]) या '''पायथागॉरस' प्रमेय''' ([[ब्रिटिश अंग्रेज़ी|ब्रिटिश अंग्रेजी]]) [[यूक्लिडियन ज्यामिति|युक्लीडीयन ज्यामिति]] में एक [[त्रिकोण# त्रिकोण के प्रकार|समकोण त्रिकोण]](समकोण त्रिकोण - ब्रिटिश अंग्रेजी) के तीन पार्श्वों के बीच एक रिश्ता है.इस [[प्रमेय]] को आमतौर पर एक [[समीकरण]] के रूप में लिखा जाता है:
:<math>a^2 + b^2 = c^2\!\,</math>
जहाँ ''c'' [[कर्ण]] की लंबाई को प्रतिनिधित्व करता है और ''a'' और ''b'' अन्य दो पार्श्वों की लंबाई को प्रतिनिधित्व करते हैं.शब्दोंहैं।शब्दों में:<blockquote>''समकोण त्रिकोण के कर्ण का वर्ग अन्य दो पार्श्वों के वर्गों की राशि के बराबर है.''<ref>"अन्य दो पार्श्वों" के रूप में भी जाना जाता है</ref></blockquote>पायथागॉरियन प्रमेय [[यूनानी]] [[गणितज्ञ]] [[पायथागॉरस]] के नाम पर रखा गया है, जिन्हें रिवाज से अपनी अपनी खोज और [[गणितीय प्रमाण|प्रमाण]] का श्रेय दिया जाता है,<ref name="Heath, Vol I, p. 144">हेथ, ग्रंथ I,p.</ref><ref name="Heath, Vol I, p. 144">144.</ref> हालांकि यह अक्सर तर्क किया गया है की इस सिद्धांत की जानकारी उनसे पूर्व तिथि की है.(काफी प्रमाण है कि [[बेबीलोन का गणित|बेबीलोन के गणितज्ञों]]ने इस सिद्धांत को समझा था, अगर गणितीय महत्व नहीं).
 
== सूत्र में ==
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== सबूत ==
यह एक ऐसा प्रमेय है जिसके अन्य की तुलना में अधिक सबूत ज्ञात हो सकते हैं ([[द्विघाती पारस्परिकता]] का नियम भी इस गौरव के लिए प्रतियोगी रह चूका है); एलीशा स्कॉट लूमिस द्वारा, ''पायथागॉरियन प्रस्ताव'' किताब में, 367 सबूत शामिल हैं.हैं।
 
[[त्रिकोणमिति पहचान|ट्रीगोनोमेट्रिक पहचान]] के आधार पर कुछ तर्क ने (जैसे [[साइन]] और [[कोसाइन]] की [[टेलर श्रृंखला]]) इस प्रमेय को सबूत के रूप में प्रस्तावित किया गया है.हालांकि, क्यूंकि सभी मौलिक ट्रीगोनोमेट्रिक पहचान को पायथागॉरियन प्रमेय के उपयोग से साबित किया जा चूका है, यहाँ कोई ट्रीगोनोमेट्रिक सबूत नहीं हो सकता है.{{Fact|date=April 2009}}([[सवाल की प्रार्थना करी|सवाल के लिए भीख मांगना भी देखें.]])
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[[चित्र:Proof-Pythagorean-Theorem.svg|thumb|right|समान त्रिकोण के उपयोग द्वारा सबूत]]पायथागॉरियन प्रमेय के अधिकांश सबूतों की तरह, यह दो [[समानता (गणित)|समान]] त्रिकोण के पार्श्वों की [[अनुरूपता (गणित)|समानता]] पर आधारित है.
 
''ABC'' को एक समकोण त्रिकोण मानते हैं, जिसमें समकोण ''C'' में स्थित है, जैसा आकृति में दिखाया गया है.हम ''C'' बिंदु से [[ऊंचाई (त्रिकोण)|ऊंचाई]] बनाते हैं और ''AB'' पार्श्व के साथ उसके प्रतिच्छेदन को ''H'' बुलाते हैं.हैं। यह नया त्रिकोण ''ACH'' हमारे त्रिकोण ''ABC'' के [[समानता (ज्यामिति)|समान]] है, क्योंकि उन दोनों में ही समकोण है (ऊंचाई की परिभाषा के द्वारा) और वे A कोण उनका हिस्सा है, इसका मतलब है की तीसरा कोण भी दोनों त्रिकोण में समान है.एक समान तर्क से, त्रिकोण CBH भी ''ABC'' के समान है. यह समानता दो अनुपात का नेतृत्व करती है..:
 
जैसे
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औपचारिक प्रमाण के लिए, हमें चार प्राथमिक लेम्मटा की आवश्यकता है:
# यदि दो त्रिकोण के दो पार्श्वों में से एक पार्श्व दूसरे के दो पार्श्वों के बराबर हो, प्रत्येक के लिए प्रत्येक और उन पार्श्वों द्वारा बना कोण बराबर हो, तो त्रिकोण अनुकूल हैं.हैं।(पार्श्व - कोण - पार्श्व प्रमेय)
# एक त्रिकोण का क्षेत्रफल एक ही तल और ऊंचाई पर किसी भी समानांतर चतुर्भुज का आधा क्षेत्रफल है.
# किसी भी वर्ग का क्षेत्रफल उसके दो पार्श्वों के उत्पाद के बराबर होता है.
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# A से, BD और CE करने के लिए एक समानांतर रेखा बनाएँ. यह लंबरूप में BC और DE को K और L में क्रमशः, काटता है.
# CF और AD को जोडें, BCF और BDA त्रिकोण बनाने के लिए.
# कोण CAB और BAG दोनों समकोण हैं; इसलिए C, A और G [[एकरेखस्थ]] हैं.इसीहैं।इसी प्रकार बी, के लिए एक और एच.
# कोण CBD और FBA दोनों समकोण हैं; इसलिए कोण ABD कोण FBC के बराबर है, क्यूंकि दोनों एक समकोण और कोण एबीसी के जोड़ के बराबर हैं.हैं।
# क्योंकि AB और BD, FB and बक के बराबर हैं, क्रमशः, ABD त्रिकोण FBC त्रिकोण के बराबर होना चाहिए.
# क्यूंकि A, K और L के साथ एकरेखस्थ है, आयत BDLK का क्षेत्रफल ABD त्रिकोण से दुगना होना चाहिए.
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=== विपर्यय से सबूत ===
[[चित्र:pythag.gif|thumb|left|4 समान समकोण त्रिकोण के पुनर्निर्माण के द्वारा पायथागॉरियन प्रमेय के 101 pxसबूत: चूंकि कुल क्षेत्र और त्रिकोण के क्षेत्र सभी निरंतर हैं, कुल काला क्षेत्र निरंतर है.लेकिन यह वर्ग विभाजित किया जा सकता है a, b, c, पार्श्वों के त्रिकोण से चित्रित प्रदर्शन के द्वारा [4] = c2.]]विपर्यय से सबूत को चित्रण और एनीमेशन के द्वारा दिया गया है.इस उदाहरण में, हर एक बड़े वर्ग का क्षेत्रफल {{nowrap|(''a'' + ''b'')<sup>2</sup>}} है.दोनों में, चरों समान त्रिकोण का क्षेत्रफल हटा दिया गया है.शेष क्षेत्रों, {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}} और ''c'' <sup>2</sup>, बराबर हैं.हैं।[[Q.E.D.|Q.E.D]][[चित्र:Pythagoras-2a.gif|thumb|right|200px|एनिमेशन द्वारा विपर्यय से एक और सबूत दिखाया]][[चित्र:Pythagorean graphic.svg|thumb|विपर्यय का उपयोग करके सबूत]][[चित्र:Pythagproof.svg|thumb|right|बीजीय सबूत: एक वर्ग जो चार समकोण त्रिकोण और एक बड़े वर्ग को श्रेणीबद्ध करके निर्मित किया है]] यह सबूत वास्तव में बहुत आसान है, लेकिन यह प्रारंभिक नहीं है, इस अर्थ में कि यह केवल सबसे बुनियादी सिद्धांत और युक्लीडियन ज्यामिति के प्रमेयों पर निर्भर नहीं है.विशेष रूप से, जब त्रिकोण और वर्गों के क्षेत्रफल का सूत्र देना बहुत आसान है, यह साबित करने के लिए आसान नहीं है कि एक वर्ग का क्षेत्रफल उसके टुकडों के क्षेत्रों का जोड़ है .वास्तव में, आवश्यक गुण साबित करना पायथागॉरियन प्रमेय सिद्ध करने की तुलना में कठिन है (लेबेस्गु उपाय और बनाच-टार्स्कि विरोधाभास देखें).वास्तव में, यह कठिनाई सभी साधारण क्षेत्र शामिल युक्लीडियन सबूत को प्रभावित करता है; उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिकोण का क्षेत्र पाने के लिए एक धारणा शामिल है कि यह एक ही ऊंचाई और तल के एक आयत का आधा क्षेत्र है.इसी कारण से, ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध परिचय आम तौर पर त्रिकोण की समानता के आधार पर एक और सबूत का प्रयोग करता है (ऊपर देखें).
 
इस पायथागॉरियन प्रमेय का तीसरा ग्राफिक चित्रण में (दाहिने में पीले और नीले रंग में) कर्ण का वर्ग पार्श्वों के वर्ग में फिट बैठता है.एक संबंधित सबूत यह दिखा सकता है की पुनः स्थापित भाग मूल के समान हैं और, क्यूंकि समान का जोड़ समान है, की उनके क्षेत्र भी समान हैं.यहहैं।यह दिखाने के लिए की एक वर्ग ही परिणाम है, हमे नए पार्श्वों की लंबाई को ''c'' के बराबर दिखाना पड़ेगा.ध्यान दें की इस सबूत के काम करने के लिए, हमे छोटे वर्ग को और अधिक हिस्सों में काटने के तरीके को संभालने के लिए रास्ता प्रदान करना होगा चूंकि पार्श्व और छोटे होते जाएँगे.[http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/FaultyPythPWW.shtml<ref>पायथागॉरियन प्रमेय: दृश्य सबूत के सूक्ष्म खतरे</ref>]
 
=== बीजीय सबूत ===
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:<math>c^2 = a^2 + b^2.\,</math>
जैसे देखा जा सकता है, परिवर्तन और पार्श्वों के बीच विशेष [[समानता (गणित)|अनुपात]] के कारण है यह वर्ग जबकि पार्श्वों में परिवर्तन की स्वतंत्र योगदान का परिणाम राशि है जो ज्यामितीय साक्ष्यों से स्पष्ट नहीं है.इस दिए गए अनुपात से यह दिखाया जा सकता है की पार्श्वों में परिवर्तन पार्श्वों से प्रतीपानुपाती अनुपात हैं.इसहैं।इस [[विभेदक समीकरण]] सुझाव देता है की यह प्रमेय संबंधित परिवर्तन के कारण है और इसके व्युत्पत्ति लगभग [[लाइन इंटीग्रल|लाइन अभिन्न]] अभिकलन के समान है.
 
यह मात्रा ''da'' और ''dc'' क्रमशः ''a'' और ''c'' में अत्यंत छोटे परिवर्तन हैं.लेकिनहैं।लेकिन हम इसके बदले वास्तविक संख्या Δa and Δc का उपयोग करते हैं, तब उनके अनुपात की सीमा da/dc है जब उनका आकार शून्य निकटता, व्युत्पन्नी और c/a भी निकटता है, त्रिकोण के पार्श्वों की लंबाई का अनुपात और विभेदक समीकरण का परिणाम पता चलता है.
== विपर्याय ==
इस प्रमेय का विपर्याय भी सच है:<blockquote>किसी भी तीन धनात्मक संख्या ''a'', ''b'' और ''c'' ऐसी है {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>}}[10], वहाँ एक त्रिकोण मौजूद है जिसके पार्श्व हैं ''a'', ''b'' और ''c'' और हर ऐसे त्रिकोण में पार्श्वों के भीच एक समकोण है जिनकी लम्बाई ''a'' और ''b'' है.</blockquote>
पंक्ति 150:
== इस प्रमेय परिणाम और उपयोग ==
=== पायथागॉरियन ट्रिपल ===
{{main|Pythagorean triple}} एक पायथागॉरियन ट्रिपल में तीन सकारात्मक पूर्णांक हैं ''a'', ''b'' और ''c'', जैसे की {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>}}.अन्य शब्दों में, एक पायथागॉरियन ट्रिपल एक समकोण के पार्श्वों की लंबाई का वर्णन करता है जहाँ तीनों पार्श्व की पूर्णांक लंबाई है.उत्तरी यूरोप के बड़े पत्थरों से बने स्मारकों से साक्ष्य यह दिखाते हैं कि ऐसे ट्रिपल लिखने की खोज से पहले से जाने जानते थे.इसथे।इस तरह के ट्रिपल सामान्यतः से लिखे गए हैं {{nowrap|(''a'', ''b'', ''c'')}}.कुछ प्रसिद्ध उदाहरण हैं {{nowrap|(3, 4, 5)}} और {{nowrap|(5, 12, 13)}}
 
=== आदिम पायथागॉरियन के ट्रिपल की 100 तक की सूची ===
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इस प्रमेय का इतिहास चार भागों में बाँटा जा सकता है: [[पायथागॉरियन ट्रिपल]] का ज्ञान, [[समकोण त्रिकोण]] पार्श्वों के बीच के रिश्ते का ज्ञान, आसन्न कोण के बीच संबंधों के ज्ञान और प्रमेय के सबूत.
 
[[मिस्र]] में [[बड़े पत्थरों का बना स्मारक]] लगभग 2500 BC से और [[उत्तरी यूरोप]] में, पूर्णांक पार्श्वों के समकोण त्रिकोण शामिल हैं.हैं।<ref>{{cite web|url=http://hyperion.cc.uregina.ca/~astro/Mega_circ.html|title=Megalithic Monuments.}}</ref> [[बर्टेल लीनडार्ट वन डर वैरडेन|बार्टेल लीनडर्ट वॉन ड़र वार्डेन]] का अनुमान है की यह पायथागॉरियन ट्रिपल की खोज [[बीजगणित|बीजीय]] से हुई है.<ref>वॉन ड़र वार्डेन 1983.</ref>
 
2000 और 1786 BC के बीच लिखा गया, [[मिस्र]] की [[मिस्र के मध्यम साम्राज्य|मध्यम किंगडम]] पापिरुस [[बर्लिन पापिरुस|''बर्लिन 6619'']] में एक समस्या शामिल है जिसका समाधान एक [[पायथागॉरियन ट्रिपल]] है.
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[[चीन]] में पहला रिकॉर्ड किया गया उपयोग है, जो "गौगु प्रमेय" (勾股定理) के नाम से जाना जाता है, [[भारत]] में भास्कर प्रमेय के नाम से जाना जाता है.
 
काफी बहस है की क्या पायथागॉरियन प्रमेय की खोज एक या कई बार हुई थी.बोयरथी।बोयर (1991) का सोचना है की शुल्बा सूत्र में पाए गए तत्व मेसोपोटामिया व्युत्पत्ति के हो सकते हैं.हैं।<ref>{{cite book|last=Boyer|authorlink=Carl Benjamin Boyer|year=1991|chapter=China and India|pages=207|quote=we find rules for the construction of right angles by means of triples of cords the lengths of which form Pythagorean triages, such as 3, 4, and 5, or 5, 12, and 13, or 8, 15, and 17, or 12, 35, and 37. However all of these triads are easily derived from the old Babylonian rule; hence, Mesopotamian influence in the ''Sulvasutras'' is not unlikely. Aspastamba knew that the square on the diagonal of a rectangle is equal to the sum of the squares on the two adjacent sides, but this form of the Pythagorean theorem also may have been derived from Mesopotamia. [...] So conjectural are the origin and period of the ''Sulbasutras'' that we cannot tell whether or not the rules are related to early Egyptian surveying or to the later Greek problem of alter doubling. They are variously dated within an interval of almost a thousand years stretching from the eighth century B.C. to the second century of our era.}}</ref>
 
== पायथागॉरियन प्रमेय के सांस्कृतिक संदर्भ ==
पंक्ति 284:
! "(वर्ग जड़ों के बारे में टिप्पणी कभी सही नहीं हुआ.)
* इसी तरह, [[Apple Inc.|Apple]] [[MacBook]] की भाषण सॉफ्टवेयर बिजूखा के गलत बयान को संदर्भित करता है.यह भाषण का नमूना है जब आवाज सेटिंग राल्फ को चुना जाता है.
* [[फ्रीमेसनरी|संगतराशों]] में, [[विगत के मास्टर (राजमिस्री के कार्य से)|विगत के मास्टर]] का एक प्रतीक यूक्लिड के 47 प्रस्ताव से एक चित्र है, पायथागॉरियन प्रमेय के यूक्लिड के सबूत में प्रयुक्त.राष्ट्रपति गारफील्ड एक संगतराश थे.थे।
* 2000 में, [[युगांडा]] ने एक समकोण त्रिकोण के आकार का एक सिक्का जारी किया.सिक्केकिया।सिक्के की पूँछ में पैथागोरस और पायथागॉरियन प्रमेय का चित्रण था, "पायथागॉरस मिलेनियम" के उल्लेख के साथ.<ref>{{cite web|url=http://homepage.sefanet.ch/meylan-sa/saviez-vous1.htm|title=Le Saviez-vous ?}}</ref> [[ग्रीस]], [[जापान]], [[सैन मैरिनो]], [[सियरा लेओन]] और [[सूरीनाम]] [[डाक टिकट]] जारी किए हैं पायथागॉरस और पायथागॉरियन प्रमेय के चित्रण के साथ.<ref>{{cite web|url=http://members.tripod.com/jeff560/index.html|title=Images of Mathematicians on Postage Stamps|first=Jeff|last=Miller|date=[[2007-08-03]]|accessdate=2007-08-06}}</ref>
* [[नील स्टीफेंसन|नील स्टीफेनसन]] के विचारवान कल्पना [[ऐनथम|''ऐनथम'']] में, पायथागॉरियन प्रमेय को "अड्राखोनिक प्रमेय" के रूप में संदर्भित किया गया है.इस प्रमेय का एक ज्यामितिक सबूत एक विदेशी जहाज की एक तरफ गणित की उनकी समझ प्रदर्शित करने के लिए प्रदर्शित किया.किया।
 
== यह भी देखें ==
"https://hi.wikipedia.org/wiki/पायथागॉरियन_प्रमेय" से प्राप्त