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"अस्पष्ट तर्क": अवतरणों में अंतर

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== ट्रुथ की डिग्रियां ==
ट्रुथ और [[प्रोबैबिलिटिज़]] (संभावनाओं) की दोनों डिग्रियों का रेंज 0 और 1 के बीच होता है और इसलिए शुरू-शुरू में ये एक जैसे लग सकते हैं.हैं। हालांकि, वैचारिक रूप से वे अलग होते हैं; ट्रुथ, अस्पष्ट रूप से परिभाषित सेट में [[मेम्बरशिप]] का प्रतिनिधित्व करता है जो [[प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता) थ्यौरी]] (संभाव्यता का सिद्धांत) की तरह किसी इवेंट (घटना) या कंडीशन (स्थिति) के ''लाइकलिहुड'' (अनुरूप) नहीं होता है. उदाहरण के लिए, 100 [[ml]] का एक [[गिलास]] लेते हैं जिसमें 30 ml [[जल]] है. तब हम दो अवधारणाओं पर विचार कर सकते हैं: एम्प्टी (खाली) और फुल (भरा हुआ). इनमें से प्रत्येक के अर्थ को एक निश्चित फ़ज़ी सेट के द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है. उसके बाद ही कोई इस गिलास को 0.7 खाली और 0.3 भरे हुए गिलास के रूप में परिभाषित कर सकता है. ध्यान दें कि खालीपन की अवधारणा, [[सब्जेक्टिव]] (व्यक्तिपरक) होगी और इस प्रकार यह [[पर्यवेक्षक]] या [[डिज़ाइनर]] पर निर्भर करेगी. दूसरा डिज़ाइनर भी बराबर-बराबर अच्छी तरह से एक सेट मेम्बरशिप कार्य का [[डिजाइन]] करेगा जहां गिलास को 50 ml से कम के सभी वैल्यूज़ के लिए भरा हुआ माना जाएगा. यह समझना बहुत जरूरी है कि फ़ज़ी लॉजिक, ट्रुथ डिग्रियों को वेगनेस फेनोमेनन (अस्पष्टता की घटना) के एक गणितीय मॉडल के रूप में प्रयोग करता है जबकि प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता), रैंडमनेस का एक [[गणितीय मॉडल]] है.
एक प्रोबैबिलिस्टिक सेटिंग सबसे पहले गिलास के पूरा भरा होने के लिए एक [[स्केलर]] वेरिएबल (अदिश परिवर्तनीय) को परिभाषित करेगा और फिर प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता) का वर्णन करते हुए कंडीशनल डिस्ट्रीब्यूशंस को परिभाषित करेगा जिसे कोई व्यक्ति एक विशिष्ट पूर्णता के स्तर को दर्शाकर गिलास को भरा हुआ कहेगा. हालांकि, कुछ घटना के घटित होने की स्वीकृति के बिना इस मॉडल का कोई अर्थ नहीं है, उदाहरण के लिए, कुछ मिनट के बाद, गिलास आधा खाली हो जाएगा. ध्यान दें कि कंडीशनिंग को एक स्पेसिफिक ऑब्ज़र्वर (विशिष्ट पर्यवेक्षक) को रखकर प्राप्त किया जा सकता है जो गिलास के लिए स्तर और नियतात्मक पर्यवेक्षकों के एक वितरण (डिस्ट्रीब्यूशन) या दोनों का अनियमित रूप से चयन करता है. परिणामस्वरूप, प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता) (अधिसम्भाव्यता) में साधारणतः फ़ज़ीनेस के सिवा कुछ नहीं है, ये तो मात्र अलग-अलग अवधारणाएं हैं जो बाहर से एक जैसी लगती हैं क्योंकि इनमें वास्तविक संख्याओं [0, 1] के एक जैसे अन्तराल का प्रयोग होता है. [[डे मॉर्गन]] (De Morgan) के प्रमेय में दोहरी प्रयोज्यता और अनियमित वेरिएबल्स के गुण हैं.हैं। फिर भी, चूंकि ऐसे प्रमेय बाइनरी लॉजिक स्टेट्स के गुणों के अनुरूप होते हैं, इसलिए व्यक्ति यह देख सकता है कि कहां पर भ्रम पैदा हो सकता है.
 
=== ट्रुथ वैल्यूज़ का अनुप्रयोग ===
एक बेसिक अनुप्रयोग, एक [[सतत परिवर्तनीय]] के उप-श्रेणियों को परिलक्ष्यित कर सकता है. उदाहरण के लिए, [[एंटी-लॉक ब्रेक]] के [[तापमान]] के मापन में विशेष तापमान की श्रेणियों को परिभाषित करने वाले कई अलग मेम्बरशिप (सदस्यता) वाले फंक्शंस का समावेश हो सकता है जो ब्रेक्स को अच्छी तरह से नियंत्रित करने के लिए आवश्यक होते हैं.हैं। प्रत्येक फंक्शन, एक ट्रुथ वैल्यू के उसी तापमान वैल्यू को चित्रित करता है जिसका रेंज 0 से 1 के बीच होता है. इन ट्रुथ वैल्यूज़ को तब ब्रेक्स को नियंत्रित करने के तरीक़ों को निर्धारित करने के लिए प्रयोग में लाया जा सकता है.
[[चित्र:Fuzzy logic temperature en.svg|thumb|center|फ़ज़ी लॉजिक तापमान]]
 
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जबकि गणित में वेरिएबल्स साधारणतः संख्यात्मक वैल्यूज़ को ग्रहण करते हैं लेकिन फ़ज़ी लॉजिक के अनुप्रयोगों में, गैर-संख्यात्मक ''भाषाई वेरिएबल्स (भाषाई अस्थिरता)'' का प्रायः नियमों और तथ्यों की अभिव्यक्ति की सुविधा प्रदान करने के लिए प्रयोग किया जाता है.<ref>ज़ादेह, एल.ए. et al. 1996 ''फ़ज़ी सेट्स, फ़ज़ी लॉजिक, फ़ज़ी सिस्टम्स'', वर्ल्ड साइंटिफिक प्रेस, ISBN 981-02-2421-4</ref>
 
एक भाषाई वेरिएबल जैसे कि ''एज'' (उम्र), में ''यंग'' या ''युवा'' अथवा इसके विपरीत ओल्ड या वृद्ध जैसा एक वैल्यू शामिल हो सकता है. हालांकि, भाषाई वेरिएबल्स (भाषाई अस्थिरता) की सबसे बड़ी प्रयोज्यता यही है कि प्राथमिक शर्तों पर लागू भाषाई हेजेज के माध्यम से इसे संशोधित किया जा सकता है. भाषाई हेजेज कुछ कार्यों के साथ संबद्ध हो सकते हैं.हैं। उदाहरण के लिए, L. A. ज़ादेह ने मेम्बरशिप कार्य के वर्ग को लेने का सुझाव दिया. हालांकि, यह मॉडल अच्छी तरह से काम नहीं करता है.
अधिक जानकारी के लिए संदर्भ देखें.
 
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यदि (IF) तापमान गर्म है (IS) तो (THEN) पंखे की गति बढ़ा दें
</blockquote>
इसमें कोई "ELSE" (अन्यथा) नहीं है - सभी नियमों का मूल्यांकन किया जाता है क्योंकि तापमान एक ही समय पर अलग-अलग डिग्रियों में "कोल्ड" (शीतल) और "नोर्मल" (सामान्य) हो सकते हैं.हैं।
 
[[बूलीयन लॉजिक]] के AND (और), OR (या) तथा NOT (नहीं) [[प्रचालक]], फ़ज़ी लॉजिक में मौजूद होते हैं जिन्हें आम तौर पर मिनिमम (न्यूनतम), मैक्सिमम (उच्चतम) और कंप्लीमेंट (पूरक) के रूप में परिभाषित किया जाता है; जब उन्हें इस तरह से परिभाषित किया जाता है तब उन्हें ''ज़ादेह प्रचालक '' कहा जाता है. इसलिए फ़ज़ी वेरिएबल्स x और y के लिए:
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</blockquote>
 
अन्य प्रचालक भी हैं जो स्वभावतः भाषाई होते हैं उन्हें ''हेजेज़'' कहते हैं और उनका भी अनुप्रयोग किया जा सकता है. ये आम तौर पर एड्वर्ब्स (क्रिया-विशेषण) होते हैं, जैसे - "वेरी" (बहुत) या "समव्हाट" (कुछ-कुछ), जो एक गणितीय [[सूत्र]] का प्रयोग करके सेट के अर्थ को संशोधित कर देते हैं.हैं।
 
अनुप्रयोग में, [[प्रोग्रामिंग लैंग्वेज]] [[प्रोलोग]] (Prolog) को इसके फैसिलिटिज़ के साथ फ़ज़ी लॉजिक{{Fact|date=May 2009}} को कार्यान्वित करने के लिए अच्छी तरह से गिअर किया जाता है ताकि "नियमों" के एक डेटाबेस को स्थापित किया जा सके जो लॉजिक को घटाने के लिए पूछे जाते हैं.हैं। इस तरह की प्रोग्रामिंग को [[लॉजिक प्रोग्रामिंग]] के रूप में जाना जाता है.
 
जब एक बार फ़ज़ी रिलेशंस को परिभाषित कर दिया जाता है, तब फ़ज़ी [[रिलेशनल डेटाबेस]] को विकसित करना संभव हो जाता है. प्रथम फ़ज़ी रिलेशनल डेटाबेस, FRDB को [[मारिया ज़ेमांकोवा]] के शोध प्रबंध में देखा गया. बाद में, बकल्स-पेट्री मॉडल (Buckles-Petry model), प्रेड-टेस्टेमेल मॉडल (Prade-Testemale Model), उमानो-फुकामी मॉडल (Umano-Fukami model) या जे. एम. मेडिना (J.M. Medina), एम. ए. विला et al. द्वारा GEFRED मॉडल जैसे कुछ अन्य मॉडलों का उद्भव हुआ. फ़ज़ी डेटाबेस के संदर्भ में, कुछ फ़ज़ी क्वेरिंग लैंग्वेजों को परिभाषित किया गया है और पी. बोस्क (P. [[Bosc]]) et al. द्वारा [[SQLf]] पर और जे. गैलिंडो (J. Galindo) et al. द्वारा [[FSQL]] पर प्रकाश डाला गया है. ये लैंग्वेज, [[SQL]] स्टेटमेंट्स में फ़ज़ी ऐस्पेक्ट्स को शामिल करने के उद्देश्य से कुछ संरचनाओं को परिभाषित करते हैं, जैसे फ़ज़ी कंडीशंस, फ़ज़ी कम्पैरेटर्स, फ़ज़ी कांस्टैंट्स, फ़ज़ी कंस्ट्रेंट्स, फ़ज़ी थ्रेसहोल्ड्स, भाषाई लेबल्स और अन्य.
 
== गणितीय फ़ज़ी लॉजिक ==
[[गणितीय लॉजिक]] में, "फ़ज़ी लॉजिक" के कई [[औपचारिक सिस्टम्स]] हैं; उनमें से अधिकांश तथाकथित [[टी-नोर्म फ़ज़ी लॉजिक्स]] से संबंधित हैं.हैं।
 
=== प्रोपोज़िशनल फ़ज़ी लॉजिक्स ===
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सबसे महत्वपूर्ण प्रोपोज़िशनल फ़ज़ी लॉजिक्स हैं:
 
* [[मोनोइडल टी-नोर्म-आधारित प्रोपोज़िशनल फ़ज़ी लॉजिक]], लॉजिक का एक एक्सिओमेटाइज़ेशन है जहां [[कंजंक्शन]] (संयोजन) को एक लेफ्ट कंटीन्युअस (सतत) टी-नोर्म द्वारा परिभाषित किया जाता है और इम्प्लिकेशन (निहितार्थ) को [[टी-नोर्म]] के रेसिडुअम (अवशेष) के रूप में परिभाषित किया जाता है. इसके [[मॉडल्स]] [[MTL-अल्जेब्रास]] के अनुरूप होते हैं जो प्रिलाइनियर कम्युटेटिव बाउंडेड इंटीग्रल [[रेसिडुएटेड लेटिसेस]] होते हैं.हैं।
* [[बेसिक प्रोपोज़िशनल फ़ज़ी लॉजिक]], MTL लॉजिक का ही एक विस्तार है जहां [[कंजंक्शन]] को एक सतत टी-नोर्म के द्वारा परिभाषित किया जाता है और इम्प्लिकेशन को [[टी-नोर्म]] के रेसिडुअम के रूप में भी परिभाषित किया जाता है. इसके [[मॉडल्स]], [[BL-अल्जेब्रास]] के अनुरूप होते हैं.हैं।
* [[ल्युकासिएविक्ज़ फ़ज़ी लॉजिक]] (Łukasiewicz fuzzy logic),बेसिक फ़ज़ी लॉजिक BL का विस्तार है जहां स्टैंडर्ड कंजंक्शन, ल्युकासिएविक्ज़ टी-नोर्म होता है. इसमें बेसिक फ़ज़ी लॉजिक के एक्सिओम्स के साथ डबल निगेशन के एक्सिओम भी होते हैं और इसके मॉडल्स, [[MV-अल्जेब्रास]] के अनुरूप होते हैं.हैं।
* [[गोडेल फ़ज़ी लॉजिक]], बेसिक फ़ज़ी लॉजिक BL का विस्तार है जहां कंजंक्शन, [[गोडेल]] टी-नोर्म होता है. इसमें BL के एक्सिओम्स के साथ-साथ कंजंक्शन के आइडेम्पोटेंस का एक एक्सिओम भी होता है और इसके मॉडल्स को [[G-अल्जेब्रास]] कहा जाता है.
* [[प्रोडक्ट फ़ज़ी लॉजिक]], बेसिक फ़ज़ी लॉजिक BL का विस्तार है जहां कंजंक्शन, प्रोडक्ट टी-नोर्म होता है. इसमें BL के एक्सिओम्स के साथ-साथ कंजंक्शन के कैंसेलेटिविटी के लिए एक और एक्सिओम भी होता है और इसके मॉडल्स को [[प्रोडक्ट अल्जेब्रास]] कहा जाता है.
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=== प्रेडिकेट फ़ज़ी लॉजिक्स ===
ये उपरोक्त-उल्लिखित फ़ज़ी लॉजिक में [[यूनिवर्सल]] और [[एक्ज़िस्टेंशियल क्वांटिफाइयर्स]] को ठीक उसी प्रकार से योग करके इसका विस्तार करते हैं जिस प्रकार से [[प्रोपोज़िशनल लॉजिक]] से [[प्रेडिकेट लॉजिक]] निर्मित होता है. [[टी-नोर्म फ़ज़ी लॉजिक्स]] में यूनिवर्सल (रेस्प. एक्ज़िस्टेंशियल) क्वांटिफाइयर के सिमेंटिक्स, क्वांटिफाइड उप-सूत्र के उदाहरणों के ट्रुथ डिग्रियों के [[इन्फिमम]] (रेस्प. [[सुप्रीमम]]) होते हैं.हैं।
 
=== हाइयर-ऑर्डर फ़ज़ी लॉजिक्स ===
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=== फ़ज़ी लॉजिक के लिए डिसाइडेबिलिटी के मुद्दे ===
"डिसाइडेबल सबसेट" और "[[रिकर्सिवली इन्युमरेबल सबसेट]]" की धारणा, [[क्लासिकल मैथमेटिक्स]] और [[क्लासिकल लॉजिक]] के मूलभूत विचार हैं.हैं। उसके बाद, फ़ज़ी सेट थ्यौरी के ऐसी अवधारणाओं के एक उपयुक्त विस्तार का प्रश्न उठता है. ''फ़ज़ी [[ट्यूरिंग मशीन]]'' (Turing machine), ''मार्कोव नोर्मल फ़ज़ी एल्गोरिदम'' और ''फ़ज़ी प्रोग्राम'' के धारणाओं के आधार पर इ. एस.सैंटोस ने ऐसी एक दिशा में एक पहला प्रस्ताव रखा (सैंटोस 1970 देखें). उसके बाद, एल. बायासिनो और जी. गेर्ला ने सिद्ध किया कि ऐसी परिभाषा पर्याप्त नहीं है और इसलिए निम्नलिखित परिभाषा का प्रस्ताव दिया. ''Ü'', [0,1] में रैशनल संख्याओं के सेट को सूचित करता है.
सेट ''S'' का फ़ज़ी सबसेट ''S'' <math>\rightarrow</math>[0,1], ''रिकर्सिवली इन्युमरेबल'' होता है यदि रिकर्सिव मैप ''h'' : ''S'' ×''N'' <math>\rightarrow</math>''Ü'', इस तरह से मौजूद हो कि ''S'' में प्रत्येक ''x'' के लिए, ''n'' के संदर्भ में फंक्शन h(x,''n'') बढ़ रहा हो और ''s'' (''x'') = lim ''h'' (''x'', ''n'') हो.
हम कहते हैं कि ''s'', ''डिसाइडेबल'' है यदि ''s'' और इसका पूरक –''s'' दोनों ही रिकर्सिवली इन्युमरेबल हो. L-सबसेट्स के सामान्य मामले में ऐसी एक थ्यौरी का विस्तार, गेर्ला 2006 में प्रस्तावित है.
प्रस्तावित परिभाषाएं, फ़ज़ी लॉजिक के साथ अच्छी तरह से संबंधित हैं.हैं। वास्तव में, निम्नलिखित प्रमेय सच साबित होते हैं (यदि फ़ज़ी लॉजिक के डिडक्शन अपारेटस (कटौती करने वाले साधन), कुछ स्पष्ट कार्यसाधकता को अच्छी तरह से संतुष्ट करते हों).
 
'''प्रमेय.''' कोई भी एक्सिओमेटाइज़ेबल फ़ज़ी थ्यौरी, रिकर्सिवली इन्युमरेबल होता है. विशेष रूप से, लॉजिक के आधार पर ट्रू फार्मूलों (सच के सूत्र) का फ़ज़ी सेट, इस तथ्य के बावजूद रिकर्सिवली इन्युमरेबल होता है कि वैलिड फार्मूलों (वैध सूत्रों) का क्रिस्प सेट आम तौर पर रिकर्सिवली इन्युमरेबल नहीं होता है. इसके अलावा, कोई भी एक्सिओमेटाइज़ेबल और कम्प्लीट थ्यौरी, डिसाइडेबल होता है.
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=== प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता) को व्यक्त करने का एक नया तरीका ===
 
:फ़ज़ी लॉजिक और प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता), अनिश्चितता को व्यक्त करने के अलग-अलग तरीकें हैं.हैं। जबकि फ़ज़ी लॉजिक और प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता) थ्यौरी दोनों का प्रयोग सब्जेक्टिव बिलीफ को प्रकट करने के लिए किया जा सकता है लेकिन फ़ज़ी सेट थ्यौरी, फ़ज़ी सेट मेम्बरशिप (अर्थात्, एक सेट में ''कितना'' वेरिएबल है) की अवधारणा का प्रयोग करता है और प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता) थ्यौरी, [[सब्जेक्टिव प्रोबैबिलिटी (व्यक्तिपरक अधिसम्भाव्यता) (व्यक्तिपरक अधिसम्भाव्यता)]] (अर्थात, मुझे ''कैसे संभाव्य'' लगता है कि सेट में वैरिएबल है) की अवधारणा का प्रयोग करता है. हालांकि यह अंतर अधिकतर दार्शनिक है,फ़ज़ी लॉजिक से उत्पन्न [[पॉसिबिलिटी मेज़र]] (संभावना की माप), स्वाभाविक रूप से [[प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता) मेज़र]] (संभाव्यता की माप) से अलग है इसलिए वे ''प्रत्यक्ष'' रूप से समकक्ष नहीं हैं.हैं। हालांकि, [[ब्रुनो डे फिनेटी]] के कार्य से कई [[सांख्यिकीविद्]] सहमत है कि सिर्फ एक ही तरह की गणितीय अनिश्चितता की आवश्यकता है और इस प्रकार फ़ज़ी लॉजिक की कोई आवश्यकता नहीं है. दूसरी ओर, [[बार्ट कोस्को]] का तर्क है कि प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता), फ़ज़ी लॉजिक का एक सबथ्यौरी है क्योंकि प्रोबैबिलिटी, सिर्फ एक ही तरह की अनिश्चितता को हैंडल करती है. वह [[फ़ज़ी सबसेटहुड]] की [[अवधारणा से बायेस]] के प्रमेय की व्युत्पत्ति साबित होने का दावा भी करते हैं.हैं। लोत्फी ज़ादेह का तर्क है कि फ़ज़ी लॉजिक स्वभाव से प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता) से अलग होता है और यह इसकी जगह नहीं ले सकता है. उन्होंने प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता) को [[फ़ज़ी प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता)]] में फ़ज़ीफ़ाइ कर दिया और इसे उसमें सामान्यीकृत भी कर दिया जिसे [[प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता) थ्यौरी]] कहा जाता है. अनिश्चितता के अन्य तरीकों में [[डेम्प्स्टर-शेफर थ्यौरी]] (Dempster-Shafer theory) और [[रफ सेट्स]] शामिल हैं.हैं।
::ध्यान दें, हालांकि, कि फ़ज़ी लॉजिक, प्रोबैबिलिटी (अधिसम्भाव्यता) के प्रति विवादास्पद नहीं बल्कि कुछ-कुछ पूरक होता है (cf.<ref>नोवाक, वी. आर फ़ज़ी सेट्स ए रिज़नेबल टूल फॉर मॉडलिंग वेग फेनोमेना?,
फ़ज़ी सेट्स ऐंड सिस्टम्स 156 (2005) 341—348.</ref>)
"https://hi.wikipedia.org/wiki/अस्पष्ट_तर्क" से प्राप्त