"पायथागॉरियन प्रमेय": अवतरणों में अंतर
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{{Translation/Ref|en|Pythagorean theorem|oldid=286316408}}
{{pp-semi-indef|small=yes|expiry=January 27, 2009}}[[चित्र:Pythagorean.svg|thumb|पायथागॉरियन प्रमेय: दो वर्गों के क्षेत्रों का जोड़ (a और b) पैरों पर कर्ण पर वर्ग के क्षेत्र (c) बराबर होता है।]]{{Trigonometry}} [[गणित]] में, '''पायथागॉरियन प्रमेय''' ([[अमेरिकी अंग्रेज़ी|अमेरिकी अंग्रेजी]]) या '''पायथागॉरस' प्रमेय''' ([[ब्रिटिश अंग्रेज़ी|ब्रिटिश अंग्रेजी]]) [[यूक्लिडियन ज्यामिति|युक्लीडीयन ज्यामिति]] में एक [[त्रिकोण# त्रिकोण के प्रकार|समकोण त्रिकोण]](समकोण त्रिकोण - ब्रिटिश अंग्रेजी) के तीन पार्श्वों के बीच एक रिश्ता
:<math>a^2 + b^2 = c^2\!\,</math>
जहाँ ''c'' [[कर्ण]] की लंबाई को प्रतिनिधित्व करता है और ''a'' और ''b'' अन्य दो पार्श्वों की लंबाई को प्रतिनिधित्व करते
== सूत्र में ==
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: <math>c^2 - b^2 = a^2.\, </math>
यह समीकरण समकोण त्रिकोण के तीनों पार्श्वों के बीच एक सरल रिश्ता प्रदान करता है ताकि यदि कोई भी दोनों पार्श्वों की लंबाई का पता हो, तो तीसरे पार्श्व की लंबाई का पता किया जा सकता
== सबूत ==
यह एक ऐसा प्रमेय है जिसके अन्य की तुलना में अधिक सबूत ज्ञात हो सकते हैं ([[द्विघाती पारस्परिकता]] का नियम भी इस गौरव के लिए प्रतियोगी रह चूका है); एलीशा स्कॉट लूमिस द्वारा, ''पायथागॉरियन प्रस्ताव'' किताब में, 367 सबूत शामिल हैं।
[[त्रिकोणमिति पहचान|ट्रीगोनोमेट्रिक पहचान]] के आधार पर कुछ तर्क ने (जैसे [[साइन]] और [[कोसाइन]] की [[टेलर श्रृंखला]]) इस प्रमेय को सबूत के रूप में प्रस्तावित किया गया
=== समान त्रिकोण के उपयोग से सबूत ===
[[चित्र:Proof-Pythagorean-Theorem.svg|thumb|right|समान त्रिकोण के उपयोग द्वारा सबूत]]पायथागॉरियन प्रमेय के अधिकांश सबूतों की तरह, यह दो [[समानता (गणित)|समान]] त्रिकोण के पार्श्वों की [[अनुरूपता (गणित)|समानता]] पर आधारित है।
''ABC'' को एक समकोण त्रिकोण मानते हैं, जिसमें समकोण ''C'' में स्थित है, जैसा आकृति में दिखाया गया
जैसे
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=== यूक्लिड के सबूत ===
[[चित्र:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|thumb|यूक्लिड के तत्वों में सबूत]][[यूक्लिड|यूक्लिड के]] [[यूक्लिड के तत्व|''तत्वों'']] में, पुस्तक 1 का प्रस्ताव 47, पायथागॉरियन प्रमेय निम्नलिखित लाइनों के साथ एक तर्क से साबित होता है।''A'',
औपचारिक प्रमाण के लिए, हमें चार प्राथमिक लेम्मटा की आवश्यकता है:
# यदि दो त्रिकोण के दो पार्श्वों में से एक पार्श्व दूसरे के दो पार्श्वों के बराबर हो, प्रत्येक के लिए प्रत्येक और उन पार्श्वों द्वारा बना कोण बराबर हो, तो त्रिकोण अनुकूल हैं। (पार्श्व - कोण - पार्श्व प्रमेय)
# एक त्रिकोण का क्षेत्रफल एक ही तल और ऊंचाई पर किसी भी समानांतर चतुर्भुज का आधा क्षेत्रफल है।
# किसी भी वर्ग का क्षेत्रफल उसके दो पार्श्वों के उत्पाद के बराबर होता है।
पंक्ति 59:
# A से, BD और CE करने के लिए एक समानांतर रेखा बनाएँ. यह लंबरूप में BC और DE को K और L में क्रमशः, काटता है।
# CF और AD को जोडें, BCF और BDA त्रिकोण बनाने के लिए.
# कोण CAB और BAG दोनों समकोण हैं; इसलिए C, A और G [[एकरेखस्थ]]
# कोण CBD और FBA दोनों समकोण हैं; इसलिए कोण ABD कोण FBC के बराबर है, क्यूंकि दोनों एक समकोण और कोण एबीसी के जोड़ के बराबर हैं।
# क्योंकि AB और BD, FB and बक के बराबर हैं, क्रमशः, ABD त्रिकोण FBC त्रिकोण के बराबर होना चाहिए.
पंक्ति 91:
=== समानता सबूत ===
ऊपर यूक्लिड के सबूत के चित्र से, हम तीन [[समानता (ज्यामिति)|समान]] आंकड़ों को देख सकते हैं, प्रत्येक में "एक वर्ग के ऊपर त्रिकोण"
=== विपर्यय से सबूत ===
[[चित्र:pythag.gif|thumb|left|4 समान समकोण त्रिकोण के पुनर्निर्माण के द्वारा पायथागॉरियन प्रमेय के 101 pxसबूत: चूंकि कुल क्षेत्र और त्रिकोण के क्षेत्र सभी निरंतर हैं, कुल काला क्षेत्र निरंतर
इस पायथागॉरियन प्रमेय का तीसरा ग्राफिक चित्रण में (दाहिने में पीले और नीले रंग में) कर्ण का वर्ग पार्श्वों के वर्ग में फिट बैठता
=== बीजीय सबूत ===
इस सबूत का बीजीय भिन्नरूप निम्न तर्क द्वारा प्रदान किया गया
:<math>\frac{1}{2} AB.</math>
पंक्ति 130:
:<math>c^2 = a^2 + \mathrm{constant}.\ \,\!</math>
जब ''a'' = 0 तब ''c '' = ''b'',
:<math>c^2 = a^2 + b^2.\,</math>
जैसे देखा जा सकता है, परिवर्तन और पार्श्वों के बीच विशेष [[समानता (गणित)|अनुपात]] के कारण है यह वर्ग जबकि पार्श्वों में परिवर्तन की स्वतंत्र योगदान का परिणाम राशि है जो ज्यामितीय साक्ष्यों से स्पष्ट नहीं
यह मात्रा ''da'' और ''dc'' क्रमशः ''a'' और ''c'' में अत्यंत छोटे परिवर्तन
== विपर्याय ==
इस प्रमेय का विपर्याय भी सच है:<blockquote>किसी भी तीन धनात्मक संख्या ''a'',
यह विपर्याय यूक्लिड के ''तत्वों'' में मौजूद होता है।[[कोसाइन के नियम|कोसाइन की विधि]] का प्रयोग करके यह साबित किया जा सकता है (नीचे देखें सामान्यकरण के नीचे), या निम्नलिखित सबूत के द्वारा:
''ABC'' को एक त्रिकोण मानते हैं जिसके पार्श्वों की लम्बाई ''a'',
पायथागॉरियन प्रमेय के विपर्याय का एक [[परिणाम|अनुमान]] है की निर्धारण करने का एक सरल तरीका है की यदि एक त्रिकोण समकोण, ओब्ट्युस, या अक्यूट है, इस प्रकार से.जहाँ ''c'' को तीनों पार्श्वों में लंबा चुना गया है:
पंक्ति 150:
== इस प्रमेय परिणाम और उपयोग ==
=== पायथागॉरियन ट्रिपल ===
{{main|Pythagorean triple}} एक पायथागॉरियन ट्रिपल में तीन सकारात्मक पूर्णांक हैं ''a'',
=== आदिम पायथागॉरियन के ट्रिपल की 100 तक की सूची ===
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12,
=== तर्कहीन संख्या का अस्तित्व ===
पायथागॉरियन प्रमेय के परिणामों में से एक है कि [[आनुपातिक (गणित)|तारतम्यहीन]] लंबाई (ie. उनके अनुपात [[तर्कहीन संख्या]] में है), जैसे की 2 का वर्गमूल, बनाया जा सकता
=== काटीज़ियन निर्देशांक में दूरस्थ ===
काटीज़ियन निर्देशांक में दूरस्थ फार्मूला को पायथागॉरियन प्रमेय से से प्राप्त किया गया
:<math> \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2}. </math>
अतिरिक्त सामान्यतः से, [[यूक्लिडियन जगह|युक्लीडियन में ''n''-अन्तर]], दो बिन्दुओं के बीच की युक्लीडियन दूरी, <math>\scriptstyle A\,=\, (a_1,a_2,\dots,a_n)</math> और <math>\scriptstyle A\,=\, (a_1,a_2,\dots,a_n)</math>, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हुए, परिभाषित किया गया है:
:<math>\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.</math>
पंक्ति 193:
इस ''अनंत-आयामी'' को [[वास्तविक संख्या|असली]] आंतरिक उत्पाद स्थान के परिणाम के सामान्यकरण को [[पारसेवल की पहचान|पार्सेवल की पहचान]] के रूप में जाना जाता है।
जब ऊपर के प्रमेय वेक्टर के बारे में ठोस ज्यामिति में पुनः लिखा जाता है, तो यह निम्नलिखित प्रमेय बन जाता
तीन आयामों के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का एक अन्य सामान्यकरण [[डी गुआ का प्रमेय]] है, जो [[जीन पॉल डी गुआ डे माल्व्स]] के नाम पर रखा गया है: यदि एक [[चतुष्फलक|टेट्राहेड्रोन]] में एक समकोण कोन है (एक [[घन (ज्यामिति)|घन]] की तरह एक कोने), तो वर्ग का क्षेत्रफल जो समकोण कोने के विपरीत तरफ है वो अन्य तीन तरफ के क्षेत्रों के जोड़े के बराबर है।
पंक्ति 199:
चार और अधिक आयामों में इन प्रमेयों के अनुरूप भी हैं .
जिन त्रिकोण में तीन [[कोण|अक्युट कोण]] होते हैं, ''α'' + ''β'' > ''γ'' होता
जिन त्रिकोण में एक [[कोण|ओब्ट्युस कोण]] होता है, ''α'' + ''β'' < ''γ'' होता
[[एड्स्जर डिजक्स्त्रा]] ने इस प्रस्ताव को अक्युट, समकोण और ओब्ट्युस त्रिकोण के बारे में इस भाषा में कहा है:
पंक्ति 209:
जहाँ कोण ''α'' पार्श्व ''a'' के विपरीत है, कोण ''β'' पार्श्व ''b'' के विपरीत है और कोण ''γ'' पार्श्व ''c'' के विपरीत है।<ref>{{cite web|url=http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd09xx/EWD975.PDF|title=Dijkstra's generalization|format=PDF}}</ref>
=== बिना युक्लीडियन ज्यामिति के पायथागॉरियन प्रमेय ===
युक्लीडियन ज्यामिति के सिद्धांत से पायथागॉरियन प्रमेय से प्राप्त हुआ है, वास्तव में, ऊपर बताए पायथागॉरियन प्रमेय का युक्लीडियन प्रकार बिना [[यूक्लिडियन ज्यामिति|युक्लीडियन ज्यामिति]] के नहीं होता है। (यह वास्तव में यूक्लिड के समांतर (पांचवां) स्वसिद्ध के बराबर दिखाया गया है।) उदाहरण के लिए, [[गोलाकार ज्यामिति|गोलीय ज्यामिति]] में, ओक्टेट से सीमित इकाई क्षेत्र के समकोण त्रिकोण के तीनों पार्श्वों की लंबाई <math>\scriptstyle \pi/2</math> के बराबर है; युक्लीडियन पायथागॉरियन प्रमेय का उल्लंघन करती है क्यूंकि <math>\scriptstyle \pi/2</math>
इसका मतलब है की बिना युक्लीडियन प्रमेय में, पायथागॉरियन प्रमेय को युक्लीडियन प्रमेय से एक अलग रूप लेना चाहिए.यहाँ दो मामलों पर विचार करना पड़ेगा- [[गोलाकार ज्यामिति]] और [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति|अतिशयोक्तिपूर्ण समतल ज्यामिति]] हैं; हर मामले में, युक्लीडियन मामले की तरह, उचित कोसाइन के नियम से परिणाम निकलता है:
पंक्ति 217:
:<math> \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right).</math>
यह समीकरण [[कोसाइन का गोलाकार कानून|कोसाइन के गोलाकार कानून]] का एक विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता
इस [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति|अतिशयोक्तिपूर्ण समतल]] में किसी भी त्रिकोण के लिए (गौस्सियन [[वक्रता]] -1 के साथ), पायथागॉरियन प्रमेय यह रूप लेता है
पंक्ति 225:
जहाँ cosh के अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन है।
इस प्रकार्य के लिए मैकलौरिन श्रृंखला का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि जिस तरह अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण बहुत छोटी हो जात है (अर्थात जब ''a'',
[[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]] में, एक समकोण त्रिकोण के लिए भी लिखा जा सकता है,
पंक्ति 241:
:<math>\frac{2a}{1+a^2} \frac{2b}{1+b^2}=\frac{2c}{1+c^2}</math>
जहाँ ''a'',
=== 2 से अधिक आयामों में ===
पंक्ति 262:
[[मेसोपोटामिया]] के नोटबुक [[प्लिम्पटन 322|''प्लिम्प्टन 322'']], [[18 वीं शताब्दी BC|1790]] और 1750 BC में महान [[हाम्मुरबी]] के शासनकाल के दौरान लिखा गया था, जिसमें कई प्रविष्टियों शामिल हैं जो पायथागॉरियन ट्रिपल के निकटता से संबंधित.
''[[बौधयाना]][[सुल्बा सूत्र]]'',
''[[अपास्ताम्बा]] सुल्बा सूत्र'' (लगभग 600 BC) में सामान्य पायथागॉरियन प्रमेय की संख्यात्मक सबूत शामिल हैं, एक क्षेत्र संगणना के उपयोग से.[[वॉन ड़र वार्डेन]] का विश्वास है "यह निश्चित रूप से पहले के परंपराओं पर आधारित थी".अल्बर्ट बुर्क के अनुसार, यह प्रमेय का मूल प्रमाण है; उसने आगे प्रमेय किया की पायथागॉरस ने [[आराकोनम]] का दौरा किया, भारत और उसकी नकल करी.
पंक्ति 268:
[[पायथागॉरस]] ने, जिसकी तारीखें सामान्यतः 569-475 BC दी गई है, पायथागॉरियन ट्रिपल के निर्माण के लिए बीजीय तरीके का इस्तेमाल करके, [[यूक्लिड]] में [[प्रोक्लुस|प्रोक्लोस]] की कमेंट्री के अनुसार.प्रोक्लोस ने, तथापि, 410 और 485 AD के बीच लिखा था। [[टी.एल.हीथ|सर थॉमस एल. हीथ]] के अनुसार, पायथागॉरस को प्रमेय का कोई रोपण नहीं था पाँच सदियों तक पायथागॉरस के जीवित रहने तक.हालांकि, जब [[प्लूटार्क|प्लूटार्च]] और [[सिसरौ|सिसेरौ]] जैसे लेखकों ने पायथागॉरस को प्रमेय ठहराया, उन्होंने इस तरह से किया जो कि रोपण व्यापक रूप से जाना जाए और निस्संदेह रहे.<ref name="Heath, Vol I, p. 144" />
400 BC के दौरान, प्रोक्लोस के अनुसार, [[प्लेटो]] ने पायथागॉरियन ट्रिपल को खोजने की एक विधि दी जिसे बीजगणित और ज्यामिति संघटित
कुछ समय 500 BC और 200 AD के बीच लिखा गया था, [[चीन|चीनी]] पाठ [[चौ पी सुआन चिंग|''चौ पी सुअन चिंग'']] (周髀算经), (''ग्नोमोन के अंकगणितीय शास्त्रीय और स्वर्ग का परिपत्र रास्ता'') पायथागॉरियन प्रमेय का एक दृश्य सबूत देता है - चीन में इसे "गौगु प्रमेय" कहा जाता है (勾股定理) — त्रिकोण (3, 4, 5) के लिए.[[हान राजवंश]] के दौरान, 202 BC से 220 AD तक, पायथागॉरियन ट्रिपल को [[गणितीय कला पर नौ अध्याय|''गणितीय कला के नौवें अध्याय'']] में देखा गया है, समकोण त्रिकोण के एक उल्लेख के साथ.<ref>स्वेट्ज़.</ref>
पंक्ति 274:
[[चीन]] में पहला रिकॉर्ड किया गया उपयोग है, जो "गौगु प्रमेय" (勾股定理) के नाम से जाना जाता है, [[भारत]] में भास्कर प्रमेय के नाम से जाना जाता है।
काफी बहस है की क्या पायथागॉरियन प्रमेय की खोज एक या कई बार हुई
== पायथागॉरियन प्रमेय के सांस्कृतिक संदर्भ ==
पायथागॉरियन प्रमेय पूरे इतिहास में कई किस्म की मास मीडिया में संदर्भित है।
* [[मेजर-जनरल के गीत|मेजर-जनरल के संगीत]] का एक पद्य [[गिल्बर्ट और सुलिवेन|गिलबर्ट और सुलिवेन]] संगीतिक [[पेनज़ैन्स के समुद्री डाकू]], "द्विपद प्रमेय के बारे में मैं बहुत से समाचार से भरा हुआ हूँ, कर्ण के वर्ग के कई हंसमुख तथ्यों के साथ", प्रमेय के तिरछा संदर्भ के द्वारा.
* [[विज़र्ड ऑफ़ ओज़ (1939 फ़िल्म)|''[[जादूगर (ओज़)|विज़र्ड]] ऑफ़ ओज़'' ]] का [[बिजूखा (ओज़)|बिजूखा]] इस प्रमेय का एक और अधिक विशिष्ट संदर्भ बनाता है जब उसे जादूगर से डिप्लोमा प्राप्त होता
! "बिजूखा द्वारा प्रदर्शित "ज्ञान" गलत
* [[द सिंपसन्स|''द सिंपसन्स'']] के एक प्रकरण में, [[हेनरी किसिंजर]] के चश्मे को [[स्प्रिंगफील्ड परमाणु ऊर्जा संयंत्र|स्प्रिंगफील्ड में परमाणु ऊर्जा संयंत्र]] के शौचालय में ढूँढने के बाद, [[होमर सिम्पसन|होमर]] उन्हें पहनता है और उद्धरण करता है ओज़ बिजूखा के सूत्र का वध संस्करण.पास में एक शौचालय दुकान में एक आदमी रोकता है और चिलाता है "यह एक ''समकोण'' त्रिकोण है, बेवकूफ
! "(वर्ग जड़ों के बारे में टिप्पणी कभी सही नहीं हुआ।)
* इसी तरह, [[Apple Inc.|Apple]] [[MacBook]] की भाषण सॉफ्टवेयर बिजूखा के गलत बयान को संदर्भित करता
* [[फ्रीमेसनरी|संगतराशों]] में, [[विगत के मास्टर (राजमिस्री के कार्य से)|विगत के मास्टर]] का एक प्रतीक यूक्लिड के 47 प्रस्ताव से एक चित्र है, पायथागॉरियन प्रमेय के यूक्लिड के सबूत में प्रयुक्त.राष्ट्रपति गारफील्ड एक संगतराश थे।
* 2000 में, [[युगांडा]] ने एक समकोण त्रिकोण के आकार का एक सिक्का जारी
* [[नील स्टीफेंसन|नील स्टीफेनसन]] के विचारवान कल्पना [[ऐनथम|''ऐनथम'']] में, पायथागॉरियन प्रमेय को "अड्राखोनिक प्रमेय" के रूप में संदर्भित किया गया
== यह भी देखें ==
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