"श्रोडिंगर समीकरण" के अवतरणों में अंतर

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==श्रोडिंगर समीकरण की प्रेरणा==
 
कल्पना कीजिए की एक कण जो स्वतंत्र रुप से अंतरिक्ष में घूम रहा है | क्योंकि इस कण पर कोई भी बाहरी बल नहीं है, इसलिए इस कण के पास गतिज ऊर्जा (kinetic energy) है और शायद किसी बाहरी बल के कारण संभावित ऊर्जा (potential energy) भी है | तो किसी भी न्यूटोनियन कण के लिए संपूर्ण यांत्रिक ऊर्जा का समिकरण <math>E = \frac{1}{2} m \vec v.\vec v + U </math> होता है जहाँ <math> \vec v </math> तीन आयाम कार्तीय निर्देशांक के अनुसार वेग वेक्टर है अौर <math> U </math> कण की संभावित ऊर्जा है | अगर <math> v_x, v_y, v_z </math> इस वेग वेक्टर के घटकों को माना जाए तो गतिज ऊर्जा का समिकरण को
 
<math>E = \frac{1}{2} m \vec v.\vec v + U= \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) + U\qquad (1)</math>
 
इन घटकों के हिसाब से भी लिखा जा सकता है | अगर समिकरण <math> (1) </math> के दाईं ओर पर मीटर और विभाजक दोनों को <math> m </math> से गुणा किया जाए तो
 
<math>E = \frac{1}{2} \frac {m^2 (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{m} + U= \frac{1}{2} \frac{(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)}{m} + U\qquad (2)</math>
 
जहाँ <math> p_x, p_y, p_z </math> गति वेक्टर के, तीन आयाम कार्तीय निर्देशांक के अनुसार, गति वेक्टर के घटक हैं | क्वांटम यांत्रिकी में <math> -i \hbar \vec \nabla </math> गति ऑपरेटर (momentum operator) है, जहाँ पर
 
<math> \vec \nabla = \hat i \frac{\partial}{\partial x} + \hat j \frac{\partial}{\partial y} + \hat k \frac{\partial}{\partial z} </math> होता है |
 
इसे 'डेल् ऑपरेटर' (Del Operator) कहते हैं | इस ऑपरेटर का मूल आंशिक अंतर कलन में है | अगर यह ऑपरेटर एक खास श्रेनी के फंक्शन (function), जिसे आईगेनफंक्शन (eigenfunction) कहते है, पर कार्य करता है तो इस कार्य का परिणाम वही फंक्शन एक निरंतर अंक से गुणित, जिसे आईगेनवेल्यू (eigenvalue) कहते है, होता है | आईगेनफंक्शन ऑपरेटर निर्भर होता है | यह आईगेनवेल्यू इस ऑपरेटर के मामले में कण की गती बताती है | क्वांटम यांत्रिकी में कई ऑपरेटर होते है, यह ऑपरेटर वही चर होते है जो एक कण के लिए प्रयोगों द्वारा मापें जा सकते हैं | इन चरों को 'अवलोकनयोगी' (observables) कहते हैं | गती, रफतार, स्थान, संभावित ऊर्जा अौर ऊर्जा अवलोकनयोगी चरें हैं |
 
{| class="wikitable"
|-
! अवलोकनयोगी चर !! प्रतीक!! ऑपरेटर
|-
| स्थान || <math> \hat x </math> || <math> x </math>
|-
| गती || <math>\hat p </math> || <math> -i \hbar \nabla </math>
|-
| ऊर्जा || <math> \hat E </math> || <math> i \hbar \frac{\partial}{\partial t}</math>
|-
| संभावित ऊर्जा || <math> U </math> || <math> U </math>
|}
 
एक आयाम, कार्तीय निर्देशांक के <math> x </math> दिशामें, गती ऑपरेटर का समिकरण <math> -i \hbar \hat i \frac {\partial}{\partial x} </math> होता है | तो कोई फंक्शन <math> \psi (x, t) </math> पर गती ऑपरेटर के कार्य करने से अगर
 
<math> -i \hbar \vec \nabla \psi (x, t) = \hat p \psi (x, t) </math> मिलता है, तो <math> \psi (x, t) </math> को ऑपरेटर का आईगेनफंक्शन कहते हैं और
 
<math> \hat p </math> को <math> \psi (x, t) </math> का आईगेनवेल्यू कहते हैं | इस मामले में इस आईगेनवेल्यू को 'गती आईगेनवेल्यू' (momentum eigenvalue) कहते हैं |
 
तो अब समिकरण <math> (2) </math> को
 
<math>E = \frac{1}{2} \frac{(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)}{m} + U= \frac{1}{2} \frac{\vec p . \vec p}{m} + U\qquad (3)</math> लिखा जा सकता है |
 
श्रोडिंगर ने अपने समिकरण के निर्माण हेतू गती ऑपरेटर और कई ऑपरेटरों का आविश्कार कर समिकरण <math> (3) </math> में <math> \vec p </math> के जगह इस्तमाल कर
 
<math>E = \frac{1}{2} \frac{\vec p . \vec p}{m} + U= -\frac{\hbar^2}{2m} {\nabla^2} \qquad + U(4) </math>
 
एक नए ऑपरेटर का निर्माण किया जिसे गतिज ऊर्जा का ऑपरेटर भी कह सकते है | समिकरण <math> (4) </math> में उपर्युक्त ऑपरेटरों का इस्तमाल कर
 
<math> -\frac{\hbar^2}{2m} {\nabla^2} + U = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \qquad (5) </math>
 
==श्रोडिंगर समीकरण का हल==
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