"षोडश आधारी": अवतरणों में अंतर
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[[गणित]] और [[कंप्यूटर विज्ञान]] में, '''हेक्साडेसिमल''' ('''आधारांक {{num|16}}''', या '''हेक्स''' अर्थात् षोडश) एक स्थितीय अंक प्रणाली (पोजीशनल न्यूमरल सिस्टम) है जिसके एक मूलांक (रैडिक्स) या आधारांक (बेस) का मान 16 होता है। इसमें सोलह अलग-अलग प्रतीकों का इस्तेमाल होता है जिसमें '''0''' से '''9''' तक के प्रतीक शून्य से नौ तक के मानों को प्रदर्शित करते हैं और '''A''', '''B''', '''C''', '''D''', '''E''', '''F''' (या वैकल्पिक रूप से '''a''' से '''f''') तक के प्रतीक दस से पंद्रह तक के मानों को प्रदर्शित करते
प्रत्येक हेक्साडेसिमल अंक, चार बाइनरी अंकों (बिट्स) (जिसे "निबल" (nibble) भी कहा जाता है) का प्रतिनिधित्व करता है और हेक्साडेसिमल नोटेशन का उपयोग, कंप्यूटिंग एवं डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में बाइनरी कोडित मानों के एक मानव-अनुकूल प्रदर्शन के रूप में किया जाता
== हेक्साडेसिमल का प्रदर्शन ==
{{Hexadecimal table}}
जिन परिस्थितियों में रेफरेंस का अभाव होता है, उन परिस्थितियों में अन्य मूल अंकों (आधारांक) में व्यक्त की गई संख्याओं के साथ एक हेक्साडेसिमल संख्या अस्पष्ट और भ्रामक हो सकती
रेखीय पाठ प्रणालिय़ों, जैसे - अधिकांश कंप्यूटर प्रोग्रामिंग परिवेशों में इस्तेमाल की जानी वाली प्रणालियों, में विभिन्न प्रकार के तरीकों का आगमन हुआ है:
* यूआरएल (URL) में, कैरेक्टर कोड को <code>%</code> उपसर्ग युक्त हेक्साडेसिमल युग्म के रूप मे लिखा जाता है: <code><nowiki>http://www.example.com/name%20with%20spaces</nowiki></code> जहां <code>%20</code> रिक्त स्थान (खाली जगह) कैरेक्टर (कोड मान 20 हेक्स में, 32 दशमलव में)
* [[क्षमल|एक्सएमएल (XML)]] और एक्सएचटीएमएल (XHTML) में, कैरेक्टरों को &#xc<code>ode;</code> नोटेशन का इस्तेमाल करके हेक्साडेसिमल संख्यात्मक कैरेक्टर रेफरेंसों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां ''''कोड'' '', [[यूनिकोड|यूनीकोड]] मानक में कैरेक्टर के लिए निर्दिष्ट किया गया 1 से 6 अंकों वाली हेक्स संख्या
* एचटीएमएल (HTML) और सीएसएस (CSS) में रंग रेफरेंसों को <code>#</code> उपसर्ग युक्त छः हेक्स अंकों (क्रमबद्ध रूप में लाल, हरे और नीले घटकों के लिए दो-दो अंक) के साथ व्यक्त किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, सफ़ेद रंग को <code>#FFFFFF</code> द्वारा प्रदर्शित किया जाता
| url = http://www.web-colors-explained.com/hex.php
| title = Hexadecimal web colors explained
}}
* *nix (यूनिक्स और उससे संबंधित) शेलों और इसी तरह [[सी प्रोग्रामिंग भाषा]], जिसे यूनिक्स (Unix) (और सी वाक्यात्मक अवरोहियों<ref>C के कुछ सिंटैकटिक डिसेंडेंट्स है C[[सी++|++]], C#, [[जावा प्रोग्रामिंग भाषा|जावा]], [[जावास्क्रिप्ट]] और विन्डोज़ पॉवरशेल</ref>) के लिए डिजाइन किया गया था, में हेक्स में प्रदर्शित संख्यात्मक स्थिरांकों के लिए <code>0x</code> उपसर्ग का इस्तेमाल होता है: <code>0x5A3</code>. कैरेक्टर और स्ट्रिंग स्थिरांक, हेक्साडेसिमल अंक प्रणाली में कैरेक्टर कोड को <code>\x</code> उपसर्ग के साथ व्यक्त कर सकते हैं जिसके बाद दो हेक्स अंक होते हैं: <code>'\x1B'</code>, Esc नियंत्रण कैरेक्टर को प्रदर्शित करता है; <code>"\x1B[0m\x1B[25;1H"</code> एक स्ट्रिंग है जिसमें 11 कैरेक्टर (और साथ में स्ट्रिंग के अंत को चिह्नित करने के लिए एक अनुगामी एनयूएल (NUL)) होते हैं जिसके साथ दो अंत:स्थापित कैरेक्टर होते
* [[यूनिकोड]] मानक में, कैरेक्टर के एक मान को <code>U+ के साथ <code>प्रदर्शित किया जाता है जिसके बाद हेक्स मान होता है: <code>U+20AC</code>, यूरो चिह्न (€) है.</code></code>
* <code><code> एमआईएमई (MIME) (ई-मेल एक्सटेंशन) उद्धृत-मुद्रणयोग्य कूटलेखन में, जिन कैरेक्टरों को लिटरल एस्की (ASCII) कैरेक्टरों के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उन कैरेक्टरों को उनके कोड के माध्यम से दो हेक्साडेसिमल डिजिट (एस्की में) के रूप में प्रदर्शित किया जाता है जिसके साथ उपसर्ग के रूप में एक ''इक्वल टु'' साइन ''='' लगा होता है जैसा कि "España" (स्पेन) को सेंड करने के लिए <code>Espa=F1a</code> में होता है. </code></code><code><code>(Hexadecimal F1, equal to decimal 241, is the code number for the lower case n with tilde in the ISO/IEC 8859-1 character set.)</code></code>
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[[चित्र:Bruce Martin hexadecimal notation proposal.png|thumb|ब्रूस ए. मार्टिन का हेक्साडेसिमल नोटेशन प्रस्ताव]]
अक्षर अंकों के लिए लोअरकेस या अपरकेस का इस्तेमाल करने की कोई सार्वभौमिक परंपरा नहीं है और समुदाय के मानकों या परंपरा के माध्यम से विशेष परिवेशों में प्रत्येक का प्रचलन है या प्रत्येक को प्राथमिकता दी जाती
कंप्यूटरों के आरंभिक इतिहास में नौ से ऊपर के अंकों को प्रदर्शित करने के लिए ''A'' से लेकर ''F'' तक के अक्षरों का विकल्प सार्वभौमिक नहीं
विश्वविद्यालयों इंक., एसीएम (ACM) पर संचार, खंड 11, अंक 10 (अक्टूबर 1968) पृष्ठ: 658</ref>
== वर्बल और डिजिटल प्रदर्शन ==
दस से पंद्रह तक की मात्राओं को प्रदर्शित करने के लिए कोई पारंपरिक अंक उपलब्ध नहीं है—इनकी जगह अक्षरों का इस्तेमाल किया जाता है—और अधिकांश पश्चिमी यूरोपीय भाषाओं में दस से ऊपर के अंकों के लिए गैर-दशमलव नामों का अभाव
का इस्तेमाल करके भ्रमित होने से बच जाते हैं: ''4DA'' "फोर-डेल्टा-अल्फ़ा" है; या ज्वाइंट आर्मी/नेवी फोनेटिक अल्फाबेट ("फोर-डॉग-एबल"); या इसी तरह की एक तदर्थ प्रणाली.
[[चित्र:Hexadecimal-counting.jpg|right|thumb|हेक्साडेसिमल उंगली-गणना प्रणाली है.]]
बाइनरी और हेक्साडेसिमल दोनों के लिए अंकों की गिनती करने की प्रणालियों की योजना बनाई गई
आर्थर सी. क्लार्क ने दस अंगुलियों पर शून्य से लेकर 1023 तक गिनती करने के लिए अंगुली का इस्तेमाल करने की सुविधा प्रदान करके एक ऑन/ऑफ़ बिट के रूप में प्रत्येक अंगुली का इस्तेमाल करने का सुझाव
== संकेत ==
हेक्साडेसिमल प्रणाली में ऋणात्मक संख्याओं को दशमलव प्रणाली की तरह ही व्यक्त किया जा सकता है: -42 को प्रदर्शित करने के लिए –2A और इसी तरह अन्य.
हालांकि, इसके बजाय कुछ लोग प्रोसेसर में इस्तेमाल किए जाने वाले सटीक बिट पैटर्न को व्यक्त करना पसंद करते हैं और हेक्साडेसिमल मानों को संकेतित मानों के रूप में ही सबसे अच्छी तरह संभाले जाने का विचार रखते
== बाइनरी रूपांतरण ==
अधिकांश कंप्यूटर बाइनरी डेटा में फेर-बदल करते हैं, लेकिन एक अपेक्षाकृत छोटी बाइनरी (द्विआधारी) संख्या
के लिए भी अनगिनत अंकों के साथ काम करना इंसानों के लिए मुश्किल
इस उदाहरण 1111<sub>2</sub> को आधारांक दस में रूपांतरित कर देता
* 0001<sub>2</sub> = 1<sub>10</sub>
* 0010<sub>2</sub> = 2<sub>10</sub>
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</td></td></tr><td>
</td></td></td></table>
आश्चर्यजनक रूप से कम अभ्यास के साथ, एक चरण में 1111<sub>2</sub> को F<sub>16</sub> में मैप करना आसान हो जाता है: हेक्साडेसिमल के प्रदर्शन की तालिका को देखें. दशमलव के बजाय हेक्साडेसिमल के इस्तेमाल से होने वाले लाभ की वजह से संख्या के आकार में तेज़ी से वृद्धि हो जाती
यह उदाहरण दशमलव में एक बाइनरी संख्या के रूपांतरण को दिखाता है, प्रत्येक अंक को दशमलव मान में मैप करता है और परिणामों को जोड़ता
<table><td>
<td>01011110101101010010<sub>2</sub></td><td>
पंक्ति 111:
</td></td></td></tr><td>
</td></td></td></td></table>
हेक्साडेसिमल से बाइनरी में किया जाने वाला रूपांतरण भी उतना ही प्रत्यक्ष होता
ऑक्टल (अष्टाधारी) प्रणाली को बाइनरी कंप्यूटर डेटा का प्रत्यक्ष सामना करने वाले लोगों के लिए एक साधन के रूप में भी इस्तेमाल किया जा सकता
== अन्य आधारांकों से रूपांतरण ==
=== स्रोत आधारांक में भाग-शेष ===
जैसा कि सभी आधारांकों के साथ होता है, स्रोत आधारांक में पूर्णांक में भाग देकर और शेष संचालनों के द्वारा हेक्साडेसिमल में एक संख्या के प्रदर्शन को रूपांतरित करने के लिए एक सरल एल्गोरिथ्म होता
चलिए b को हेक्साडेसिमल में प्रदर्शित करने वाली संख्या मान लेते हैं और h<sub>i</sub>h<sub>i-1</sub>...h<sub>2</sub>h<sub>1</sub> श्रृंखला को इस संख्या को प्रदर्शित करने वाले हेक्साडेसिमल अंक मान लेते
# i := 1
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# अगर d = 0 (वापसी श्रृंखला h<sub>i</sub>) और वृद्धि i और चरण 2 में जाएं
"16" को किसी अन्य आधारांक के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो वांछनीय हो सकता
निम्नलिखित, स्ट्रिंग प्रदर्शन में किसी भी संख्या को एक हेक्साडेसिमल में रूपांतरित करने के लिए उपरोक्त एल्गोरिथ्म का एक [[जावास्क्रिप्ट|जावास्क्रिप्ट (JavaScript)]] कार्यान्वयन
<source lang="javascript">
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=== जोड़ और गुणा ===
[[चित्र:Hexadecimal multiplication table.svg|right|thumb|एक हेक्साडेसिमल गुणन तालिका]]
स्रोत आधारांक में प्रत्येक स्थान को इसके स्थान मान का हेक्साडेसिमल प्रदर्शन प्रदान करके और उसके बाद अंतिम प्रदर्शन प्राप्त करने के लिए जोड़ और गुणा करके भी रूपांतरण कार्य किया जा सकता
अर्थात् B3AD संख्या को दशमलव संख्या में रूपांतरित करने के लिए कोई भी इस रूपांतरण को D (13<sub>10</sub>), A (10<sub>10</sub>), 3 (3<sub>10</sub>) और B (11<sub>10</sub>) में विभाजित कर सकता है और उसके
बाद प्रत्येक दशमलव प्रदर्शन को 16<sup>p</sup> से गुणा करके अंतिम परिणाम प्राप्त कर सकता है, जहां 'p' दाएं से बाएं अनुकूल स्थिति है जो 0 से शुरू होता
=== रूपांतरण के साधन ===
ग्राफिकल यूजर इंटरफेस वाली सबसे आधुनिक कंप्यूटर प्रणालियां एक अंतर्निर्मित कैलकुलेटर यूटिलिटी प्रदान करती हैं जिसमें विभिन्न मूलांकों के बीच रूपांतरण करने की क्षमता होती है जिसमें आम तौर पर हेक्साडेसिमल भी शामिल होता
[[माइक्रोसॉफ़्ट|माइक्रोसॉफ्ट (Microsoft)]] [[माइक्रोसॉफ्ट विण्डोज़|विंडोज (Windows)]] में, कैलकुलेटर यूटिलिटी को वैज्ञानिक कैलकुलेटर मोड में सेट किया जा सकता है, जो मूलांक 16 (हेक्साडेसिमल), 10 (डेसिमल), 8 (ऑक्टल) और 2 ([[द्वयाधारी संख्या पद्धति|बाइनरी]]) के बीच रूपांतरण की अनुमति देता है; सबसे ज्यादा आम तौर पर प्रोग्रामरों द्वारा प्रयुक्त आधारांक. वैज्ञानिक मोड में, ऑन-स्क्रीन संख्यात्मक कीपैड में A से लेकर F तक हेक्साडेसिमल अंक शामिल होते हैं जो "हेक्स" का चयन करने पर सक्रिय हो जाते
== वास्तविक संख्या ==
पंक्ति 215:
|}
जहां एक ओवरलाइन एक आवर्ती पद्धति को सूचित करता
किसी भी आधारांक के लिए, 0.1 (या "1/10") हमेशा उसके बराबर होता है जो अपनी खुद की संख्या प्रणाली में उस आधारांक मान के प्रदर्शन से विभाजित होता है: आधारांक 3 की गिनती 0, 1, 2, 10 (तीन)
हेक्साडेसिमल में परिमित तौर पर प्रदर्शनीय सभी तर्कसंगत संख्याएं, दशमलव, डुओडेसिमल और सेक्साजेसिमल में भी परिमित तौर पर प्रदर्शनीय होती हैं: अर्थात्, अंकों की एक परिमित संख्या के साथ कोई भी हेक्साडेसिमल संख्या में अंकों की एक परिमित संख्या होती है जब इन्हें उन अन्य मूलानकों में व्यक्त किया जाता
{| class="wikitable"
पंक्ति 525:
=== घात ===
शायद सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किए जाने वाले घात, दो के घात, आधारांक 16 का इस्तेमाल करके दिखाना ज्यादा आसान होता
{| class="wikitable"
! 2<sup>''x'' </sup>
पंक्ति 613:
| 10000<sub>हेक्स</sub>
|}
दो और चार का इस्तेमाल करते समय यह टेट्रेशन को और ज्यादा आसान भी बना देता
<sup>3</sup>2 = 2<sup>4</sup> = 10<sub>हेक्स</sub>,<br />
<sup>4</sup>2 = 2<sup>16</sup> = 10000<sub>हेक्स</sub> और<br />
पंक्ति 620:
== सांस्कृतिक ==
=== शब्द व्युत्पत्ति ===
''हेक्साडेसिमल'' शब्द ''हेक्सा-'' और ''-डेसिमल'' शब्दों से मिलकर बना है जिसमें से हेक्सा- शब्द को [[यूनानी भाषा|यूनानी]] शब्द έξ (हेक्स) से लिया गया है जिसका इस्तेमाल "छः" के लिए किया जाता है और -डेसिमल शब्द "दसवां" के लिए इस्तेमाल होने वाले [[लातिन भाषा|लैटिन]] शब्द से लिया गया
=== आम पद्धतियां और हास्य ===
{{details|Hexspeak}}
हेक्साडेसिमल का इस्तेमाल कभी-कभी प्रोग्रामर जोक में किया जाता है क्योंकि कुछ शब्दों का निर्माण केवल हेक्साडेसिमल अंकों का इस्तेमाल करके ही किया जा सकता
कुछ लोग संख्या के बाद एक H लगाते हैं यदि वे यह दिखाना चाहते हो कि इसे हेक्साडेसिमल में लिखा गया
यूनिवर्सल (Universal) माक-ओ (Mach-O) फाइलों और जावा (Java) क्लास फ़ाइल स्ट्रक्चर की एक जादुई संख्या इसका उदाहरण है जो "<code>CAFEBABE</code>"
टेस्ट हार्डवेयर के लिए अक्सर इस्तेमाल किए जाने वाले दो आम बिट पद्धतियां <code>01010101</code> और <code>10101010</code> हैं (उनके समतुल्य हेक्स मान क्रमशः 55h और AAh हैं). इनका इस्तेमाल ''ऑफ'' ('0') से ''ऑन'' ('1') या ऑन ('1') से ऑफ ('0') में फेर-बदल करने के लिए किया जाता है जब इन दो पद्धतियों में स्विच (फेर-बदल) किया जाता
निम्न तालिका हेक्साडेसिमल में एक जोक को प्रदर्शित करता है:
पंक्ति 638:
0x12=18
प्रथम तीन को गुणा के रूप में रूपांतरित किया जाता है, लेकिन अंत में, "0x" 12 के हेक्साडेसिमल रूपांतरण का संकेत देता है, जिसका मान 18 होता
वर्णमाला (और इस प्रकट वे जिनका इस्तेमाल हेक्साडेसिमल में किया गया है) में केवल प्रथम छः अक्षरों वाले एक शब्द के उपयोग पर आधारित एक अन्य जोक
:अगर केवल मृत लोग हेक्साडेसिमल को समझते हैं, तो कितने लोग हेक्साडेसिमल को समझते हो?
इस मामले में, जीवित न रहने वाली स्थिति के विपरीत, "मृत" शब्द एक हेक्साडेसिमल संख्या DEAD (57005 आधारांक 10) को संदर्भित करता
एक नुथ रिवार्ड चेक एक हेक्साडेसिमल, या $2.56 होता
=== प्राथमिक अंक प्रणाली ===
दर्जन के समर्थन की तरह,
हेक्साडेसिमल को वरीयताप्राप्त अंक प्रणाली के रूप में प्रोत्साहित करने के लिए सामयिक प्रयास किए गए
उच्चारण और/या प्रतीकविद्या को प्रस्तावित करते
| url = http://www.hauptmech.com/base42
| title = Base 4^2 Hexadecimal Symbol Proposal
}}
जिससे वे 16 के गुणक हो जाते
| url = http://www.intuitor.com/hex/
| title = Intuitor Hex Headquarters
}}
| url = http://std.dkuug.dk/jtc1/sc2/wg2/docs/n2677
| title = A proposal for addition of the six Hexadecimal digits (A-F) to Unicode
}}
मानक उपायों को एकीकृत करने का एक उदाहरण हेक्साडेसिमल समय है जो एक दिन को 16 से उपविभाजित कर देता है जिससे एक दिन में 16 "हेक्स घंटे" हो जाते
== संख्या आधारांक अंकन का मूल ==
पंक्ति 704:
* वेब कलर्स
</div>
== संदर्भ ==
|