"फूर्ये रूपान्तर": अवतरणों में अंतर

छो बॉट: विराम चिह्नों के बाद खाली स्थान का प्रयोग किया।
छो बॉट: वर्तनी एकरूपता।
पंक्ति 2:
'''फूर्ये रूपान्तर''' (Fourier transform) एक गणितीय रूपान्तर है जो भौतिकी एवं इंजीनियरी में अत्यन्त उपयोगी है। इसका नाम [[जोसेफ फूर्ये]] के नाम पर पड़ा है।
 
फूर्ये रूपान्तर [[समय]] <math> \scriptstyle f(t) </math> के किसी फलन को एक नए [[फलन]] <math>\scriptstyle \hat f or \scriptstyle F, </math> में रूपन्तरित करता है जिसका अर्गुमेन्ट आवृत्ति (रेडियन प्रति सेकेण्ड) है। इस नए फलन '''F''' को फलन '''f''' का फूर्ये रूपान्तर या 'फ्रेक्वेंसी स्पेक्ट्रम' कहते हैं।
 
:<math> \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t </math>
 
== प्रमुख सूत्र ==
पंक्ति 17:
| 3 || <math>e^{iat}f(t)\,</math> || <math>F(\omega-a)\,</math> || आवृत्ति शिफ्ट
|-
| 4 || <math>f(at)\,</math> || <math>|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\,</math> || यदि <math>a</math> बहुत बड़ा हो तो <math>f(at)</math> 0 के आसपास केन्द्रित होगा और <math>|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)</math> 'चपटा' हो जाएगा।
|-
| 5 || <math>\frac{d^n f(t)}{dt^n}\,</math> || <math>(i\omega)^n F(\omega)\,</math> || Свойство преобразования Фурье от <math>n</math>
पंक्ति 35:
| 12 || <math>e^{iat}\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)\,</math> ||
|-
| 13 || <math>\cos(at)\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,</math> || 1 और 12 का उपसाध्य ; आयलर प्रमेय से - <math>\cos(at)=\frac{1}{2}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,</math>
|-
| 14 || <math>\sin(at)\,</math> || <math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}\,</math> ||
पंक्ति 41:
| 15 || <math>\exp(-at^2)\,</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\,</math> || इससे स्पष्ट है कि गासियन फलन <math>\exp(-t^2/2)</math> का फूर्ये रूपान्तर भी गासियन फलन ही होगा।
|-
| 16 || <math>W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)\,</math> || <math>\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)\,</math> || रेक्टैगुलर फलन अर्थात्, आदर्श लो-पास-फिल्टर
|-
| 17 || <math>\frac{1}{t}\,</math> || <math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,</math> || यहाँ <math>\sgn(\omega)\,</math> — [[sgn]] फलन (चिह्न फलन) है।
|-
| 18 || <math>\frac{1}{t^n}\,</math> || <math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\,</math> || 17 का सामान्यीकृत रूप
|-
| 19 ||<math>\sgn(t)\,</math> || <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\,</math> || 17 का द्वैत