"लाप्लास रूपान्तर": अवतरणों में अंतर
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==उपयोग==
=== उदाहरण १: किसी अवकल समीकरण का हल निकालना ===
[[नाभिकीय भौतिकी]] में जरेडियोसक्रिय क्षय को अभिव्यक्त करने वाला अवकल समीकरण नीचे दिया गया है। किसी नमूने में रेडियोसक्रिय परमाणुओं की संख्या {{math|''N''}} है तथा इसके क्षय की दर {{math|''N''}} के समानुपाती होती है। इसी को निम्नलिखित अवकल समीकरण द्वारा अभिव्यक्त किया जा सकता है-
: <math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N,</math>
जहाँ {{math|''λ''}}, [[क्षय नियतांक]] (decay constant) है। इस समीकरण का हल लाप्लास रूपान्तर की सहायता से निकाला जा सकता है।
इस समीकरण को एक ही पक्ष (side) में ले जाकर लिखने पर,
: <math>\frac{dN}{dt} + \lambda N = 0.</math>
अब हम इस समीकरण के दोनों पक्षों का लाप्लास रूपान्तर लेते हैं।
: <math>\left( s \tilde{N}(s) - N_0 \right) + \lambda \tilde{N}(s) = 0,</math>
जहाँ
: <math>\tilde{N}(s) = \mathcal{L}\{N(t)\}</math>
तथा
: <math>N_0 = N(0).</math>
इसका हल करने पर,
: <math>\tilde{N}(s) = \frac{N_0}{s + \lambda}.</math>
अन्त में हम प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर लेते हें जिससे सामान्य हल प्राप्त होता है।
: <math>\begin{align}
N(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{\tilde{N}(s)\} = \mathcal{L}^{-1}\! \left\{ \frac{N_0}{s + \lambda} \right\}\\
&= \ N_0 e^{-\lambda t},
\end{align}</math>
== सन्दर्भ ==
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