"लाप्लास रूपान्तर": अवतरणों में अंतर
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== गुण ==
:<math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>
=== अवकलन ===
: <math>\mathcal{L}\{f'(t)\}
= s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)</math>
: <math>\mathcal{L}\{f''(t)\}
= s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)</math>
: <math> \mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \dots - f^{(n - 1)}(0) </math> <math> = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0) </math>
=== समाकलन ===
: <math>\mathcal{L}\left\{ \int_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}</math>
=== द्वैत ===
:<math>\mathcal{L}\{ t f(t)\}
= -F'(s)</math>
=== आवृत्ति विस्थापन ===
: <math>\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} =
F(s-a)</math>
=== स्मय विस्थापन ===
: <math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
= e^{-as} F(s)</math>
: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
= f(t - a) u(t - a)</math>
टिप्पणी: <math>u(t)</math> का अर्थ है [[यूनिट स्टेप फलन]]
=== समय के ''n''-घात से गुणा ===
: <math>\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]</math>
=== [[संवलन]] (कॉन्वोलुशन) ===
: <math>\mathcal{L}\{f*g\}
= F(s)G(s)</math>
=== ''p'' आवर्तकाल वाले एक आवर्ती फलन का लाप्लास रूपान्तर===
: <math>\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt</math>
=== प्रारम्भिक मान प्रमेय ===
<math>f(0^{+})=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}</math>
=== अन्तिम मान प्रमेय ===
<math>f(\infty)=\lim_{s\to0}{sF(s)}</math>
== प्रमुख फलनों के लाप्लास रूपान्तर ==
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