"अतिपरवलयिक फलन": अवतरणों में अंतर
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[[गणित]] में, '''अतिपरवलयिक फलन''' (hyperbolic functions) ऐसे [[फलन]] हैं जो सामान्य [[त्रिकोणमितीय फलन|त्रिकोणमितीय फलनों]] से मिलते-जुलते किन्तु अलग फलन हैं।
'''हाइपरबोलिक साइन''' "sinh" ({{IPAc-en|ˈ|s|ɪ|n|tʃ}} या {{IPAc-en|ˈ|ʃ|aɪ|n}}),<ref>(1999) ''Collins Concise Dictionary'', 4th edition, HarperCollins, Glasgow, {{ISBN|0 00 472257 4}}, p. 1386</ref> और '''हाइपरबोलिक कोसाइन''' "cosh" ({{IPAc-en|ˈ|k|ɒ|ʃ}}),<ref name="Collins Concise Dictionary p. 328">''Collins Concise Dictionary'', p. 328</ref> मूलभूत '''अतिपरवलयिक फलन''' हैं। इनसे '''हाइपरबोलिक टैन्जेन्ट''' "tanh" ({{IPAc-en|ˈ|t|æ|n|tʃ}} या {{IPAc-en|ˈ|θ|æ|n}}),<ref>''Collins Concise Dictionary'', p. 1520</ref> '''हाइपरबोलिक कोसेकेन्ट''' "csch" या "cosech" ({{IPAc-en|ˈ|k|oʊ|ʃ|ɛ|k}}<ref name="Collins Concise Dictionary p. 328"/> या {{IPAc-en|ˈ|k|oʊ|s|ɛ|tʃ}}), '''हाइपरबोलिक सेकेन्ट''' "sech" ({{IPAc-en|ˈ|ʃ|ɛ|k}} या {{IPAc-en|ˈ|s|ɛ|tʃ}}),<ref>''Collins Concise Dictionary'', p. 1340</ref> तथा '''हाइपरबोलिक कोटैन्जेन्ट''' "coth" ({{IPAc-en|ˈ|k|oʊ|θ}} या {{IPAc-en|ˈ|k|ɒ|θ}}),<ref>''Collins Concise Dictionary'', p. 329</ref><ref>[http://www.mathcentre.ac.uk/resources/workbooks/mathcentre/hyperbolicfunctions.pdf tanh]</ref> व्युत्पन्न हुए हैं।
==परिभाषा==
[[File:sinh cosh tanh.svg|150px|thumb|<span style="color:#b30000;">sinh</span>, <span style="color:#00b300;">cosh</span> and <span style="color:#0000b3;">tanh</span>]]
[[File:csch sech coth.svg|150px|thumb|<span style="color:#b30000;">csch</span>, <span style="color:#00b300;">sech</span> and <span style="color:#0000b3;">coth</span>]]
[[File:Hyperbolic and exponential; cosh.svg|150px|thumb|(a) cosh(''x'') is the [[Arithmetic mean|average]] of ''e<sup>x</sup>'' and ''e<sup>−x</sup>'']]
[[File:Hyperbolic and exponential; sinh.svg|150px|thumb|(b) sinh(''x'') is half the [[Subtraction|difference]] of ''e<sup>x</sup>'' and ''e<sup>−x</sup>'']]
अतिपरवलयिक फलनों को कई तरह से पारिभाषित किया जाता है। एक विधि इनको इक्सपोनेन्शियल फलन के फलन के रूप में परिभाषित करती है-
* '''Hyperbolic sine''':
::<math>\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}.</math>
* '''Hyperbolic cosine''':
::<math>\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}.</math>
* '''Hyperbolic tangent''':
::<math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = </math>
::<math> = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = \frac{1 - e^{-2x}} {1 + e^{-2x}}.</math>
* '''Hyperbolic cotangent''':
::<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = </math>
::<math> = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = \frac{1 + e^{-2x}} {1 - e^{-2x}}, \qquad x \neq 0.</math>
* '''Hyperbolic secant''':
::<math>\operatorname{sech}\,x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = </math>
::<math> = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1} = \frac{2e^{-x}} {1 + e^{-2x}}.</math>
* '''Hyperbolic cosecant''':
::<math>\operatorname{csch}\,x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = </math>
::<math> = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1} = \frac{2e^{-x}} {1 - e^{-2x}}, \qquad x \neq 0.</math>
हाइपरबोलिक फलनों को अवकल समीकरणों के हल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन निम्नलिखित तन्त्र के अनन्य हल {{math|(''s'', ''c'')}} हैं-
:<math>\begin{align}
c'(x)&=s(x)\\
s'(x)&=c(x)\end{align}</math>
such that
{{math|1=''s''(0) = 0}} and {{math|1=''c''(0) = 1}}.
ये फलन निमनलिखित समीकरण के अन्न्य हल भी हैं-
<math>f''(x)=f(x),</math>
such that <math>f(0)=1, f'(0)=0,</math> for the hyperbolic cosine, and <math>f(0)=0, f'(0)=1,</math> for the hyperbolic sine.
Hyperbolic functions may also be deduced from [[trigonometric function]]s with [[complex number|complex]] arguments:
* Hyperbolic sine:
::<math>\sinh x = -i \sin (i x)</math>
* Hyperbolic cosine:
::<math>\cosh x = \cos (i x)</math>
* Hyperbolic tangent:
::<math>\tanh x = -i \tan (i x)</math>
* Hyperbolic cotangent:
::<math>\coth x = i \cot (i x)</math>
* Hyperbolic secant:
::<math>\operatorname{sech} x = \sec (i x)</math>
* Hyperbolic cosecant:
::<math>\operatorname{csch} x = i \csc (i x)</math>
where ''i'' is the [[imaginary unit]] with the property that <math>i^2 = -1.</math>
The [[complex number|complex]] forms in the definitions above derive from [[Euler's formula]].
==सन्दर्भ==
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