"त्रिभुज": अवतरणों में अंतर
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अंतिम समानता केवल तभी लागू होती है जब कोणों में से कोई भी 90° का न हो (इसलिए स्पर्शज्या फलन का मान हमेशा सीमित होता है)।
== त्रिभुज से संबन्धित बिन्दु, रेखाएं, और वृत्त ==
[[चित्र:Triangle.Circumcenter.svg|अंगूठाकार|त्रिभुज के तीन लंब समद्विभाजक होते हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं (या प्रतिच्छेद करते हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का ''''परिकेन्द्र'''<nowiki/>' कहलाता है। यह बिंदु त्रिभुज के [[परिवृत्त|'''परिवृत्त''']] का केंद्र होता है (यह वृत्त त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है)।]]
एक त्रिभुज की किसी भुजा का '''लंब समद्विभाजक (Perpendicula Bisector)''', उस भुजा के मध्यबिन्दु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है जो भुजा के लम्बवत होती है, यानी भुजा के साथ समकोण बनाती है। त्रिभुज के तीन लंब समद्विभाजक होते हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं (या प्रतिच्छेद करते हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का ''''परिकेन्द्र (Circumcenter)'''<nowiki/>' कहलाता है, इसे आमतौर पर O द्वारा दर्शाया जाता है; यह बिंदु त्रिभुज के [[परिवृत्त|'''परिवृत्त''']](Circumcircle) का केंद्र होता है (यह वृत्त त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है)। इस वृत्त का [[व्यास (ज्यामिति)|व्यास,]] जिसे '''परिव्यास''' कहा जाता है, उपरोक्त [[ज्या|ज्या के नियम]] द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। परिवृत्त की त्रिज्या को '''परित्रिज्या''' कहा जाता है।
[[थेल्स का प्रमेय|थाल्स प्रमेय]] से पता चलता है कि यदि परिकेन्द्र, त्रिभुज की किसी भुजा पर स्थित है, तो वह त्रिभुज [[समकोण त्रिभुज]] है और उस भुजा के सामने का कोण समकोण है। यदि परिकेन्द्र, त्रिभुज के अंदर स्थित है, तो त्रिभुज [[न्यूनकोण त्रिभुज तथा अधिककोण त्रिभुज|न्यूनकोण त्रिभुज]] है; यदि परिकेन्द्र, त्रिभुज के बाहर स्थित है, तो त्रिभुज [[न्यूनकोण त्रिभुज तथा अधिककोण त्रिभुज|अधिककोण त्रिभुज]] है।
[[चित्र:Triangle.Orthocenter.svg|बाएँ|अंगूठाकार|त्रिभुज के तीन शीर्षलंब होते हैं, जो एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिन्दु त्रिभुज का ''''लंबकेंद्र'''<nowiki/>' कहलाता है,]]
त्रिभुज का '''शीर्षलंब''', एक शीर्ष से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा है, जो उस शीर्ष के सामने की भुजा पर लंब होती है। इस सामने की भुजा को, '''शीर्षलंब का आधार''' कहा जाता है, और वह बिंदु जहां शीर्षलंब, आधार को प्रतिच्छेद करता है, '''शीर्षलंब का पाद''' कहलाता है। शीर्षलंब की लंबाई, आधार और शीर्ष के बीच की दूरी है। त्रिभुज के तीन शीर्षलंब होते हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं (या प्रतिच्छेद करते हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का ''''लंबकेंद्र'''<nowiki/>' कहलाता है, जो H द्वारा दर्शाया जाता है। केवल [[न्यूनकोण त्रिभुज तथा अधिककोण त्रिभुज|न्यूनकोण त्रिभुजों]] में, लंबकेंद्र त्रिभुज के अंदर स्थित होता है।
[[चित्र:Triangle.Incircle.svg|अंगूठाकार|त्रिभुज के तीन कोण समद्विभाजक होते हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं (या प्रतिच्छेद करते हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का ''''अन्तःकेंद्र'''<nowiki/>' कहलाता है।]]
त्रिभुज का '''कोण समद्विभाजक''', शीर्ष से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा है, जो उस शीर्ष के कोण को दो समान भागों में बाँटती है। त्रिभुज के तीन कोण समद्विभाजक होते हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं (या प्रतिच्छेद करते हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का ''''अन्तःकेंद्र'''<nowiki/>' कहलाता है, इसे आमतौर पर I द्वारा दर्शाया जाता है; यह बिंदु त्रिभुज के [[त्रिभुज के अन्तर्वृत्त और बहिर्वृत्त|'''अन्तःवृत्त''']] का केंद्र होता है (यह वृत्त त्रिभुज के अंदर स्थित होता है और उसकी तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है)। अन्तःवृत्त की त्रिज्या को '''अन्तःत्रिज्या''' कहा जाता है। किसी त्रिभुज के तीन '''[[त्रिभुज के अन्तर्वृत्त और बहिर्वृत्त|बहिर्वृत्त]]''' (excircle या escribed circle) होते हैं। ये तीनों वृत्त उस त्रिभुज के बाहर होते हैं। इनमें से प्रत्येक वृत्त, त्रिभुज की किसी एक भुजा को तथा शेष दो भुजाओं को आगे बढाने से बनी दो रेखाओं को स्पर्श करता है।
[[चित्र:Triangle.Centroid.svg|बाएँ|अंगूठाकार|ज की तीन माध्यिकाएँ होती हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलती हैं (या प्रतिच्छेद करती हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का '[[केंद्रक (ज्यामितीय)|'''केंद्रक''']]' कहलाता है।]]
त्रिभुज की '''माध्यिका''', एक शीर्ष और उस शीर्ष के सामने की भुजा के मध्यबिंदु से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा है। माध्यिका, त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रों में विभाजित करती है। त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ होती हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलती हैं (या प्रतिच्छेद करती हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का '[[केंद्रक (ज्यामितीय)|'''केंद्रक''']]' कहलाता है, जो G द्वारा दर्शाया जाता है। एक दृढ़ त्रिभुजाकार वस्तु (जो [[घनत्व|एकसमान घनत्व]] की पतली शीट से काटा गया है) का केंद्र, उसका [[संहति-केन्द्र|द्रव्यमान केंद्र]] भी होता है: [[गुरुत्वाकर्षण|एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र]] में, वस्तु अपने केंद्रक पर संतुलित रह सकती है। केंद्रक, प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, यानी एक शीर्ष और केंद्रक के बीच की दूरी, केंद्रक और सामने की भुजा के मध्यबिंदु के बीच की दूरी से दोगुनी होती है।
[[चित्र:Triangle.NinePointCircle.svg|अंगूठाकार|तीनों भुजाओं के मध्य बिंदु और तीनों शीर्षलम्बों के पाद, सभी एक ही वृत्त पर होते हैं, जिसे त्रिभुज का '''नवबिन्दु वृत्त''' कहते हैं।]]
तीनों भुजाओं के मध्य बिंदु और तीनों शीर्षलम्बों के पाद, सभी एक ही वृत्त पर होते हैं, जिसे त्रिभुज का '''नवबिन्दु वृत्त''' कहते हैं। शेष तीन बिंदु जिनके लिए इसका नाम नवबिन्दु (नौ बिन्दु) वृत्त है, वे शीर्ष और लंबकेन्द्र के बीच, शीर्षलंब के हिस्से के मध्यबिंदु हैं। नवबिन्दु वृत्त की त्रिज्या, परिवृत्त की त्रिज्या की आधी होती है। यह अन्तःवृत्त और तीनों [[त्रिभुज के अन्तर्वृत्त और बहिर्वृत्त|बहिर्वृत्तों]] को स्पर्श करता है।
[[चित्र:Triangle.EulerLine.svg|बाएँ|अंगूठाकार|यूलर रेखा वह रेखा है, जिस पर केंद्रक (पीला), लंबकेन्द्र (नीला), परिकेन्द्र (हरा) और नवबिन्दु वृत्त का केंद्र (लाल बिंदु) स्थित होते हैं।]]
केंद्रक (पीला), लंबकेन्द्र (नीला), परिकेन्द्र (हरा) और नवबिन्दु वृत्त का केंद्र (लाल बिंदु), सभी एक एकल रेखा पर होते हैं, जिसे '''यूलर की रेखा''' (लाल रेखा) कहा जाता है। नवबिन्दु वृत्त का केंद्र, लंबकेन्द्र और परिकेन्द्र के बीच के मध्यबिंदु पर स्थित होता है, और केंद्रक और परिकेन्द्र के बीच की दूरी, केंद्रक और लंबकेन्द्र के बीच की दूरी की आधी होती है।
अन्तःवृत्त का केंद्र, सामान्य रूप से यूलर की रेखा पर स्थित नहीं होता है।
== इन्हें भी देखें ==
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