"वृत्त": अवतरणों में अंतर

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किसी एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का [[बिन्दुपथ]]
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! bgcolor="#e7dcc3" |
!वृत्त
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| colspan="32" |[[File:वृत्त.svg|250px]]
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| bgcolor="#e7dcc3" |तल
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| द्विविमीय
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| bgcolor="#e7dcc3" |अर्थ
| केंद्र से समान दूर होने वाले बिंदुओं का समुदाय
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| केंद्र से समान दूर होने वाले बिंदुओं का समुदाय
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| bgcolor="#e7dcc3" |व्यास
| केंद्र से होकर जाने वाली जीवा
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| केंद्र से होकर जाने वाली जीवा
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| bgcolor="#e7dcc3" |त्रिज्या
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| अर्द्धव्यास
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| bgcolor="#e7dcc3" |अंग्रेजी में
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| circle
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |परिधि
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| परिधि = π x व्यास
|- वृत्त का परिधि="2πr"
|}
किसी एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का [[बिन्दुपथ]] '''वृत्त''' कहलाता है। यह निश्चित बिंदु, वृत्त का '''केंद्र''' कहलाता है, केंद्र और वृत्त की परिधि के किसी भी बिन्दु के बीच की दूरी वृत्त की [[त्रिज्या]] कहलाती है। वृत्त एक साधारण बंद वक्र होता है जो समतल को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी।
 
वृत्त एक प्रकार का [[शांकव]] (शंकु परिच्छेद) होता है जिसकी उत्केंद्रता (Eccentricity) [[शून्य]] होती है अर्थात [[नियता]] (Directrix) समतल में [[अनंत]] पर स्थित होती है। एक वृत्त को एक विशेष प्रकार के [[दीर्घवृत्त]] के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दोनों नाभियाँ (Focii) संपाती होती हैं और उत्केन्द्रता 0 होती है। [[यूक्लिड]] के अनुसार, 'वृत्त एक रेखा से घिरा हुआ एकविमीय [[समतल (ज्यामिति)|समतल]] होता है और किसी निश्चित बिंदु से लेकर उस बंधरेखा तक खींची गई सभी रेखाएं बराबर होती हैं। इस बंधरेखा को परिधि और इस निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र कहते हैं।'
 
<br />
== यूक्लिड की परिभाषा ==
'एक <blockquote>वृत्त एक रेखाबंधरेखा से घिराघिरी हुआहुई एकविमीयएक [[समतलसमतलीय आकृति है, और यह इस (ज्यामिति)|समतल]]तरह होता है औरकि किसी निश्चित बिंदु से लेकर उसइस बंधरेखा तक खींची गईकी सभी रेखाएं लंबाई में बराबर होती हैं। इसयह बंधरेखा, इस वृत्त कोकी परिधि और इस निश्चित बिंदु, को वृत्त काइसका केंद्र कहतेकहलाता हैं।'है।</blockquote>
 
== शब्दावली ==
'''[[चाप]] (Arc):''' वृत्त की परिधि का कोई भी भाग।
 
'''केंद्र (Centre):''' वृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदु।
 
'''[[जीवा]] (Chord):''' एक रेखाखंड, जो वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिन्दुओं को मिलने पर बनता है। एक जीवा वृत्त को दो वृत्तखंडों में विभाजित करती है।
 
'''[[परिधि]] (Circumfrence):''' वृत्त के चारों ओर की वक्र लंबाई।
 
'''[[व्यास]] (Diameter):''' एक रेखाखंड जिसके अंतबिन्दु वृत्त पर स्थित होते हैं और जो केंद्र से गुजरता है या वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की अधिकतम दूरी है। यह वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है और यह त्रिज्या की दोगुनी होती है।
 
'''डिस्क (Disc):''' एक वृत्त से घिरा अन्तः समतलीय क्षेत्र।
 
'''[[त्रिज्या]] (Radius):''' वृत्त के केंद्र से वृत्त की परिधि के किसी भी बिंदु तक का एक रेखाखंड, जो व्यास का आधा होता है।
 
'''त्रिज्यखंड (Sector):''' किन्हीं दो त्रिज्याओं के बीच एक चाप से घिरा क्षेत्र।
 
'''वृत्तखण्ड (Segment):''' केंद्ररहित एक क्षेत्र जो वृत्त की एक जीवा और एक चाप से घिरा होता है। एक जीवा वृत्त को दो वृत्तखंडों में विभाजित करती है।
 
'''छेदकछेदन रेखा या छेदिका (Secant):''' एक विस्तारित जीवा, जो वृत्त के समतलीय होती है तथा वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करती है।
 
'''अर्धवृत्त(Semicircle):''' वृत्त के व्यास तथा व्यास के अंतबिन्दुओं से बने चाप के मध्य का क्षेत्र अर्धवृत्त होता है। अर्धवृत्त का क्षेत्रफल, वृत्त के सम्पूर्ण क्षेत्रफल का आधा होता है।
 
'''[[स्पर्शरेखा|स्पर्शी]](Tangent):''' वृत्त  के समतलीय सीधी रेखा जो एक बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करती है।[[Image:CIRCLE LINES.svg|right|thumb| ज्या (Chord), स्पर्श रेखा (tangent), छेदन रेखा (secant), व्यासार्थ (radius) ऑर व्यास (diameter)]]
 
== यूक्लिड की परिभाषा ==
[[यूक्लिड]] के अनुसार,
 
'''[[स्पर्शरेखा|स्पर्शी या स्पर्श रेखा]] (Tangent):''' वृत्त  के समतलीय सीधी रेखा जो एक बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करती है।[[Image:CIRCLE LINES.svg|right|thumb| ज्या (Chord), स्पर्श रेखा (tangent), छेदन रेखा (secant), व्यासार्थ (radius) ऑर व्यास (diameter)]]
'एक वृत्त एक रेखा से घिरा हुआ एकविमीय [[समतल (ज्यामिति)|समतल]] होता है और किसी निश्चित बिंदु से लेकर उस बंधरेखा तक खींची गई सभी रेखाएं बराबर होती हैं। इस बंधरेखा को परिधि और इस निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र कहते हैं।'
 
'''अर्धवृत्त (Semicircle):''' वृत्त के व्यास तथा व्यास के अंतबिन्दुओं से बने चाप के मध्य का क्षेत्र अर्धवृत्त होता है। अर्धवृत्त का क्षेत्रफल, वृत्त के सम्पूर्ण क्षेत्रफल का आधा होता है।
== छेदक रेखा ==
वृत्त की परिधि को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को उस वृत्त की '''छेदक रेखा''' कहते हैं।
 
<br />
== स्पर्श रेखा ==
[[चित्र:CIRCLE_LINES_HI.png|पाठ=|केंद्र|अंगूठाकार|300x300पिक्सेल|जीवा (Chord), स्पर्शी या स्पर्श रेखा (tangent), छेदिका या छेदन रेखा (secant), व्यासार्द्ध या त्रिज्या (radius) एवं व्यास (diameter)]]
वृत्त की परिधि को किसी एक बिन्दु पर स्पर्श करने वाली रेखा को उस वृत्त की '''स्पर्श रेखा (Tangent)''' कहते हैं।
[[चित्र:Ci_Hi.png|पाठ=|केंद्र|अंगूठाकार|143.991x143.991पिक्सेल|चाप (Arc), त्रिज्यखंड (Sector) एवं वृत्तखंड (Segment)]]
<br />
 
== वृत्त की स्पर्श रेखा के गुण ==
(a) वृत्त के एक बिन्दु पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा होती है।
 
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(f) वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु से जाने वाली वृत्त पर दो और केवल दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
 
(g) बाह्य बिन्दु P से वृत के स्पर्श बिन्दु तक स्पर्श रेखा खंड की लम्बाई को बिन्दु P से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई कहते हैं।<ins class="adsbygoogle" data-ad-client="ca-pub-2248428667831891" data-ad-slot="5840112765" data-ad-format="auto" data-adsbygoogle-status="done"><ins id="aswift_2_expand"></ins></ins>
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== विश्लेषणात्मक परिणाम ==
'''परिधि की लंबाई:'''<ref>10th maths</ref>
 
वृत्त की परिधि तथा उसके व्यास का अनुपात ''π'' [[पाई|(पाई]]) होता है, जिसका मान लगभग 3.141592654 के बराबर है। इस प्रकार परिधि की लंबाई ''C'', त्रिज्या ''r'' और व्यास ''d'' से निम्न प्रकार संबंधित है:
 
<math>C=2\pi r=\pi d</math>
C = 2πr = πd
 
'''क्षेत्रफल:'''
[[चित्र:Circle_Area_hi.png|अंगूठाकार|वृत्त का क्षेत्रफल = π x छायांकित वर्ग का क्षेत्रफल]]
[[आर्किमिडिज़|आर्किमिडीज]] ने वृत्त के क्षेत्रफल मापन में सिद्ध किया कि एक वृत्त सेका घिरा क्षेत्रक्षेत्रफल, एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है, जिसका आधार वृत्त की परिधि की लंबाई के बराबर और इसकी ऊंचाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अतः π तथा त्रिज्या के वर्ग का गुणनफल, वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
क्षेत्रफल<math>\mathrm {} =\pi πr<sup>r^{2}.\,</supmath>
 
यदि वृत्त का व्यास ''d'' हो तब,
[[आर्किमिडिज़|आर्किमिडीज]] ने वृत्त के क्षेत्रफल मापन में सिद्ध किया कि एक वृत्त से घिरा क्षेत्र एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है, जिसका आधार वृत्त की परिधि की लंबाई के बराबर और इसकी ऊंचाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। π तथा त्रिज्या के वर्ग का गुणनफल, वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
[[चित्र:Circle_Area.svg|अंगूठाकार|Area enclosed by a circle = π × area of the shaded square]]
क्षेत्रफल = πr<sup>2</sup>
 
क्षेत्रफल<math>\mathrm {} ={\frac (πd<sup>{\pi d^{2</sup>)/}}{4 =}}\approx 0{.}7854d<sup>^{2},</supmath>
यदि वृत्त का व्यास d हो तब,
 
यह [[वर्ग]] के क्षेत्रफल के लगभग 79% के बराबर है जिसकी भुजा की लंबाई ''d'' है।
क्षेत्रफल = (πd<sup>2</sup>)/4 = 0.7854d<sup>2</sup>
 
=== '''समीकरण:''' ===
यह वर्ग के क्षेत्रफल के लगभग 79% के बराबर है जिसकी भुजा की लंबाई d है।
[[चित्र:Circle_center_a_b_radius_r.svg|अंगूठाकार|वृत्त जिसकी त्रिज्या r = 1, केंद्र (a, b) = (1.2, −0.5)]]
एक ''x-y'' [[कार्तीय निर्देशांक पद्धति|कार्तीय निर्देशांक]] प्रणाली में, केंद्र ''(a,b)'' और त्रिज्या ''r'' के वृत्त का समीकरण
 
<math>\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.</math>
'''समीकरण:'''
 
''वृत्त के समीकरण'' के रूप में जाना जाने वाला यह [[समीकरण]], [[पाइथागोरस प्रमेय|पाइथागोरियन प्रमेय]] से वृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं पर लागू होता है: जैसा कि आसन्न आरेख में दिखाया गया है, वृत्त की त्रिज्या, एक समकोण त्रिभुज का कर्ण (hypotenuse) है जिसकी अन्य भुजाओं की लंबाई |x - a| और |y - b| हैं।यदि वृत्त का केंद्र मूलबिंदु ''(0,0)'' तथा त्रिज्या ''r'' हो तब वृत्त का समीकरण:
एक x-y [[कार्तीय निर्देशांक पद्धति|कार्तीय निर्देशांक]] प्रणाली में, केंद्र (a,b) और त्रिज्या r के वृत्त का समीकरण
 
<math>x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\ </math>
(x-a)<sup>2</sup> + (y-b)<sup>2</sup> = r<sup>2</sup>
 
प्राचलिक रूप
यदि वृत्त का केंद्र मूलबिंदु (0,0) तथा त्रिज्या r हो तब वृत्त का समीकरण:
 
त्रिकोणमितीय फलन ज्या (sine) और कोज्या (cosine) का प्रयोग करके प्राचलिक रूप में वृत्त के समीकरण को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है
x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = r<sup>2</sup>
 
== प्रमुख गुण ==
Line 136 ⟶ 127:
[[श्रेणी:वृत्त|*]]
{{DEFAULTSORT:circlu}}
<references />
"https://hi.wikipedia.org/wiki/वृत्त" से प्राप्त