"लघुगणक": अवतरणों में अंतर
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[[चित्र:Logarithms.png|thumb|300px| अलग-अलग आधार के लिये लघुगणकीय फलन का आरेखण: <span style="color:red">लाल रंग</span> वाला ''<span style="color:red">e</span>'', <span style="color:green">हरा रंग</span> वाला <span style="color:green">10</span>, तथा<span style="color:purple">बैगनी</span> वाला <span style="color:purple">1.7</span>. सभी आधारों के लघुगणक बिन्दु (1, 0) से होकर गुजरते हैं क्योंकि किसी भी संख्या पर शून्य घातांक का मान 1 होता है।]]
[[स्कॉट्लैण्ड|स्कॉटलैंड]] निवासी [[जॉन नेपियर|जाॅन नेपियर]] द्वारा प्रतिपादित '''लघुगणक''' (Logarithm / लॉगेरिद्म) एक ऐसी गणितीय युक्ति है जिसके प्रयोग से गणनाओं को लघु या छोटा किया जा सकता है। इसके प्रयोग से गुणा और भाग जैसी जटिल प्रक्रियाओं को जोड़ और घटाने जैसी अपेक्षाकृत सरल प्रक्रियाओं में बदल दिया जाता है। [[
==परिभाषा==
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प्रत्येक लघुगणक का आधार होना आवश्यक है। भिन्न भिन्न आधारों के लिए एक ही संख्या के भिन्न भिन्न लघुगणक होते हैं। साधारणत: आधार के लिए दो संख्याओं का व्यवहार होता है, जिनके अनुसार लघुगणक की दो प्रणालियाँ बनाई गई हैं।
प्राकृतिक प्रणाली में लघुगणक का आधार एक [[अपरिमेय संख्या]] '''e''' मानी जाती है। इसके आविष्कारक [[जॉन नेपियर]] के नाम पर ऐसे लघुगणकों को 'नेपिरीय लघुगणक' भी कहते हैं। '''e''' का मान एक [[श्रेणी (गणित)|अनन्त श्रेणी]] द्वारा व्यक्त होता है और लगभग 2.7182818...... के बराबर है। उच्च गणित के सैद्धांतिक कार्यों के लिए इसी प्रणाली का उपयोग होता है।
दूसरी प्रणाली के आविष्कारक [[हेनरी ब्रिग]] हैं। इस प्रणाली में लघुगणक का आधार '''10''' है। इसे 'साधारण लघुगणक' (common logarithm) कहते हैं। यह व्यावहारिक प्रयोगों के लिए उपयुक्त है।
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: <math>\ln{10} \cdot \log e =1</math>.
उपरोक्त से निम्नलिखित [[गणितीय सर्वसमिका|सर्वसमिका]] (equality) प्राप्त होती है-
: <math>\frac{\log_b x}{\log_b a} = \log_a x</math>
अथवा:
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== इतिहास ==
[[चित्र:John Napier-Logarithmorum 1620.jpg|right|thumb|300px|जॉन नेपियर की पुस्तक का मुखपृष्ट]]
[[स्कॉट्लैण्ड|स्कॉटलैंड]] निवासी [[जॉन नेपियर]] तथा [[स्विट्ज़रलैण्ड|स्विट्जरलैंड]] के [[जूस्ट बुर्गी]] (Joost Burgi) ने स्वतंत्र रूप से लघुगणक का आविष्कार किया। इन दोनों के लघुगणक एक दूसरे से भिन्न थे तथा प्राकृतिक लघुगणक और सामान्य लघुगणक भी भिन्न थे। नेपियर का लघुगणक 1614 ई. में एड्नवर (Edinburgh) में ''मिरिफिसी लॉगेरिथमोरम केनोनिस डिसक्रिप्शियो'' (Mirifici logarithmorum canonis descriptio) शीर्षक के अंतर्गत प्रकाशित हुआ। 1620 ई. में प्रेग (Prague) में जूस्ट बुर्गी का लघुगणक ''अरिथमेटिशे उंडर ज्योमेट्रिशे प्रोग्रेस टेबूलेन (Arithmetische under Geometrische Progress Tabulen)'' शीर्षक के अंतर्गत प्रकाशित हुआ। इस समय तक सारे [[यूरोप]] में नेपियर के लघुगणक का प्रचार हो चुका था। उनके सिद्धांत एवं परिकलन पद्धति का पूर्ण उल्लेख, उनकी पुस्तक ''मिरिफ़िसी लॉगरिथमोरम केनोनिस कंस्ट्रक्सियो, (Mirifice logarithmorum canonis constructio)'' में मिलता है, जो उनकी मृत्यु के दो वर्ष पश्चात् 1619 ई. में प्रकाशित हुई। डब्लू.आर. मैक्डॉनैल्ड (W.R. Macdonald) ने इसका अंग्रेजी में अनुवाद 1889 ई. में किया। 1614 ई. के नेपिरियन लघुगणक तथा प्राकृतिक लघुगणक का पारस्परिक संबंध निम्न ढंग से व्यक्त किया जाता है :
: नेप लघु र = 10<sup>7</sup> लघु <sup>(10 / र)</sup>
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== लघुगणक सारणी के परिकलन की विधियाँ ==
जॉन नेपियर, हेनरी ब्रिग, जेम्य ग्रेगोरी, ऐब्राहम शार्प तथा अन्य गणितज्ञों ने भिन्न-भिन्न पद्धतियों का उपयोग लघुगणक सारणी के निर्माण में किया है। निकोलस मर्केटर (Nicolas Mercator) ने 1668 ई. में लघु (1+य) की [[श्रेणी (गणित)|अनन्त श्रेणी]] प्राप्त की :
: लघु (1+x) = x - (x<sup>2</sup> / 2) + (x<sup>3</sup> / 3) . . . (-1 < x < 1)
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== लघुगणकों के उपयोग ==
लघुगणक का प्रयोग ऐसे [[समीकरण|समीकरणों]] को हल करने के लिये किया जाता है जिनमें अज्ञात राशि घात के रूप में हो। चूँकि लघुगणकीय फलन का [[अवकलज]] बहुत सरल फलन होता है, इसलिये इनका उपयोग इन्टीग्रल निकालने में होता है। लघुगणक, [[घातांक]] (exponentials) तथा [[मूल (संख्या का)|करणी]] (radicals) - ये तीनों आपस में बहुत घनिष्टता से जुड़े हुए हैं। समीकरण ''b''<sup>''n''</sup> = ''x'', में ''b'' का मान करणी द्वारा निकाला जा सकता है; ''n'' का मान लघुगणक द्वारा निकाला जा सकता है तथा ''x'' का मान घात द्वारा।
=== विज्ञान ===
[[विज्ञान]] में बहुत सी राशियाँ दूसरी राशियों के लघुगणक के रूप में व्यक्त की जातीं हैं। इसकी अधिक विस्तृत सूची के लिये [[लघुगणकीय पैमाना]] देखें।
* [[रसायन विज्ञान]] में हाइड्रोजन ऑयन के सान्द्रण के व्युत्क्रम के साधारण लघुगणक (H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>, the form H<sup>+</sup> takes in water) को [[pH|पीएच]] (pH) कहा जाता है। 25 °C पर शुद्ध [[जल]] में हाइड्रोजन आयनों का सांद्रण 10<sup>−7</sup> मोल/लीटर होता है; अतः शुद्ध जल का pH = 7.
* The ''bel'' (symbol B) is a [[Units of measurement|unit]] of measure which is the base-10 logarithm of [[ratio]]s, such as [[power (physics)|power]] levels and [[voltage]] levels. It is mostly used in [[दूरसंचार|telecommunication]], [[electronics]], and [[acoustics]]. The Bel is named after telecommunications pioneer [[Alexander Graham Bell]]. The ''[[decibel]]'' (dB), equal to 0.1 bel, is more commonly used. The ''[[neper]]'' is a similar unit which uses the natural logarithm of a ratio.
* The [[Richter magnitude scale|Richter scale]] measures [[earthquake]] intensity on a base-10 logarithmic scale.
* In [[spectrometry]] and [[optics]], the absorbance unit used to measure [[optical density]] is equivalent to −1 B.
* In [[खगोल शास्त्र|astronomy]], the [[सापेक्ष कांतिमान|apparent magnitude]] measures the brightness of [[star]]s logarithmically, since the eye also responds logarithmically to brightness.
* In [[psychophysics]], the [[Weber–Fechner law]] proposes a logarithmic relationship between stimulus and sensation.
* In [[computer science]], logarithms often appear in bounds for [[computational complexity]]. For example, to [[comparison sort|sort]] ''N'' items using comparison can require time proportional to the product ''N'' × log ''N''. Similarly, base-2 logarithms are used to express the amount of storage space or memory required for a binary representation of a number—with ''k'' bits (each a 0 or a 1) one can represent 2<sup>''k''</sup> distinct values, so any [[natural number]] ''N'' can be represented in no more than (log<sub>2</sub> ''N'') + 1 bits.
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