"0.999...": अवतरणों में अंतर

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[[File:999 Perspective.svg|300px|thumbnail|अनंत रूप से जारी दशमलव आवृत्ति]]
 
'''0.999...''' गणित में यह निरूपित करता है कि दशमलव बिंदु (और इसके पहले एक 0) के बाद दशमलव आवृत्ति में अनंत रूप से कई 9 होते हैं। यह दशमलव आवृत्ति दर्शाती है कि अनुक्रम (0.9, 0.99, 0.999, ...) में सबसे छोटी संख्या प्रत्येक दशमलव संख्या से कम नहीं होती।<ref>यह परिभाषा दशमलव संख्याओं की परिभाषा के बराबर है, जो उनके संयुक्त घटकों की सीमा है, जो कि 0.999... के मामले में अनुक्रम (0.9, 0.99, 0.999, ...) की सीमा है। यह समतुल्यता परिबद्ध बढ़ती शृंखलाओं के कारण होती है जिसकी सीमा हमेशा उनके ऊपरी न्यूनतम बंध के बराबर होती है।</ref>
 
<ref>This definition is equivalent to the definition of decimal numbers as the limits of their summed components, which, in the case of 0.999..., is the limit of the sequence (0.9, 0.99, 0.999, ...). The equivalence is due to bounded increasing sequences having their limit always equal to their least upper bound.</ref> यह संख्या 1 के बराबर है। दूसरे शब्दों में, "0.999..." और "1" समान संख्या को दर्शाते हैं। सहज युक्ति से गणितीय कठोर प्रमाणों तक इस समानता को दिखाने के कई तरीके हैं। उपयोग की जाने वाली तकनीक लक्षित दर्शकों, पृष्ठभूमि मान्यताओं, ऐतिहासिक संदर्भ और वास्तविक संख्याओं के वरीयताकृत विकास पर निर्भर करती है। आमतौर पर 0.999... को इसी तकनीक वाली प्रणाली में परिभाषित किया गया है। (दूसरी प्रणालियों में 0.999... का समान अर्थ, भिन्न अर्थ या अपरिभाषित भी हो सकता है।)
यह परिभाषा दशमलव संख्याओं की परिभाषा के बराबर है, जो उनके संयुक्त घटकों की सीमा है, जो कि 0.999... के मामले में अनुक्रम (0.9, 0.99, 0.999, ...) की सीमा है। यह समतुल्यता परिबद्ध बढ़ती शृंखलाओं के कारण होती है जिसकी सीमा हमेशा उनके ऊपरी न्यूनतम बंध के बराबर होती है।
 
<ref>This definition is equivalent to the definition of decimal numbers as the limits of their summed components, which, in the case of 0.999..., is the limit of the sequence (0.9, 0.99, 0.999, ...). The equivalence is due to bounded increasing sequences having their limit always equal to their least upper bound.</ref> यह संख्या 1 के बराबर है। दूसरे शब्दों में, "0.999..." और "1" समान संख्या को दर्शाते हैं। सहज युक्ति से गणितीय कठोर प्रमाणों तक इस समानता को दिखाने के कई तरीके हैं। उपयोग की जाने वाली तकनीक लक्षित दर्शकों, पृष्ठभूमि मान्यताओं, ऐतिहासिक संदर्भ और वास्तविक संख्याओं के वरीयताकृत विकास पर निर्भर करती है। आमतौर पर 0.999... को इसी तकनीक वाली प्रणाली में परिभाषित किया गया है। (दूसरी प्रणालियों में 0.999... का समान अर्थ, भिन्न अर्थ या अपरिभाषित भी हो सकता है।)
 
आमतौर पर, दशमलव को विस्थापित करने वाले गैरशून्य के दो समान प्रतिनिधित्व (उदाहरण के लिए-8.32 और 8.31999...) होते हैं। उपयोगितावादी प्राथमिकता दशमलव विस्थापन प्रतिनिधित्व इस गलत धारणा को बढ़ावा देता है कि वही एकमात्र प्रतिनिधित्व है। इस तथा अन्य कारणों से-मसलन दृढ़ प्रमाण गैर प्राथमिक तकनीकों, गुणों या अनुशासनों पर भरोसा करते हैं-कुछ लोग को समानता को सहज प्रतिवाद लग सकता है जिसपर वे सवाल उठाएँ या खारिज करें। यह गणित शिक्षा में कई अध्ययनों का विषय रहा है।