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[[गणित]] में [[सम्मिश्र विश्लेषण|सम्मिश्र विश्‍लेषण]] के क्षेत्र में '''कोशी-रीमान समीकरण''' (Cauchy–Riemann equations) दो आंशिक अवकल समीकरणों की प्रणाली (system of two partial differential equations) है। ये समीकरण अवश्य ही संतुष्ट होंगे यदि दिया हुआ [[समिश्र फलन]] समिश्र-अवकलनिय (complex differentiable) है। समीकरण का यह नाम अगस्तिन कौशी (Augustin Cauchy) और बर्नार्ड रीमान (Bernhard Riemann) के नम पर पड़ा है।
#पुनर्प्रेषित [[कौची-रीमैन समीकरण]]
 
इसके अलावा, समिश्र अवकलन के लिये कोशी-रीमान समीकरण आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त भी हैं।
 
समीकरणों की यह प्रणाली सर्वप्रथम [[डी'अल्म्बर्ट]] (d'Alembert 1752) के कार्यों में देखने को मिली। बाद में [[लियोनार्द आइलर]] (Euler 1797) ने इन समीकरणों का सम्बन्ध [[एनालिटिकल फलन|एनालिटिक फलनों]] से भी होना बताया। कोशी ने 1814 में इन फलनों का उपयोग करके 'फलनों का सिद्धान्त' निर्मित किया। फलनों के सिद्धान्त पर रीमान का शोधपत्र 1851 में आया।
 
== परिचय ==
वास्तविक मान वाले तथा दो चरों वाले फलनों के युग्म u(x,y) और v(x,y) के लिये निम्नलिखित दो समीकरण 'कौशी-रीमान समीकरण' कहलाते हैं:
 
:<math>\mathrm{(1a)} \qquad \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math>
एवं
:<math>\mathrm{(1b)} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.</math>
 
== बाहरी कड़ियाँ ==
* [https://web.archive.org/web/20061209102947/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/CauchyRiemannMod.html Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews]
 
== इन्हें भी देखें ==
* [[फलन]]
 
{{कौशी नामकरण}}
 
[[श्रेणी:आंशिक अवकल समीकरण]]
[[श्रेणी:सम्मिश्र विश्लेषण]]
[[श्रेणी:हार्मोनिक फलन]]
[[श्रेणी:समीकरण]]
 
{{विज्ञान-आधार}}