"द्विपद प्रमेय" के अवतरणों में अंतर

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[[गणित]] में '''द्विपद प्रमेय''' एक महत्वपूर्ण [[बीजगणित|बीजगणितीय]] [[सूत्र]] है जो '''x + y''' प्रकार के [[द्विपद]] के किसी धन पूर्णांक घातांक का मान '''x''' एवं '''y''' के '''n'''वें घात के [[बहुपद]] के रूप में प्रदान करता है। अपने सामान्यीकृत (जनरलाइज्ड) रूप में द्विपद प्रमेय की गणना गणित के १०० महानतम प्रयोयों में होती है।
 
 
== न्यूटन का द्विपद प्रमेय ==
अपने सरलतम रूप में द्विपद प्रमेय इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
 
:<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1)</math>
 
जहाँ ''x'' और ''y'' कोई भी [[वास्तविक संख्या]] या [[समिश्र संख्या]] हैं तथा ''n'' शून्य या कोई धनात्मक [[पूर्णांक]] है। उपरोक्त समीकरण (१) में आने वाले [[द्विपद गुणांक]], ''n'' के [[फैक्टोरिअल]] के रूप में व्यक्त किये जा सकते हैं।
 
:<math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.</math>
 
उदाहरण के लिये, 2 ≤ ''n'' ≤ 5 के लिये द्विपद प्रमेय का स्वरूप इस प्रकार है:
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,</math>
:<math>(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,</math>
:<math>(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4 + y^5.\,</math>
 
== सन्दर्भ ==
*Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966.
 
[[lt:Binomo formulė]]
[[ml:ദ്വിവര്‍ഗ്ഗ പ്രമേയം]]
[[ms:Teorem binomial]]
[[nl:Binomium van Newton]]
[[no:Binomialformelen]]