सीमा तुलना परीक्षण

गणित में, सीमांत तुलना परीक्षण (limit comparison test) अनन्त श्रेणी के अभिसरण की एक विधि है।

कथन

माना कि $\Sigma _{n}a_{n}$ और $\Sigma _{n}b_{n}$ दो श्रेणियाँ हैं जहाँ सभी $n$ के लिए $a_{n},b_{n}\geq 0$ है।

तब यदि $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ जहाँ $0<c<\infty$ है तब दोनो श्रेणी या तो अभिसारी होंगी या अपसारी।

उपपत्ति

चूँकि $\lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ और हम जानते हैं कि सभी $\varepsilon$ के लिए एक पूर्णांक $n_{0}$ इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है कि $n\geq n_{0}$ हमें $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$ प्राप्त होता है अथवा

$-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon$

$c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon$

$(c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$

प्रत्येक $c>0$ के लिए $\varepsilon$ का मान स्वैच्छिक रूप से छोटा चयनित किया जा सकता है जहाँ $c-\varepsilon$ धनात्मक प्राप्त हो। अतः $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ हो और प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण से यदि $a_{n}$ अभिसारी है तो $b_{n}$ भी अभिसारी होगी।

इसी प्रकार $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$, अतः यदि $b_{n}$ अभिसारी है तब प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण से $a_{n}$ भी अभिसारी होगी।

अतः या तो दोनों श्रेणियाँ अभिसारी होंगी अथवा अपसारी।

उदाहरण

हम ज्ञात करना चाहते हैं कि श्रेणी $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ अभिसारी है। इससे तुलना हम अभिसारी श्रेणी $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ से करते हैं।

चूँकि $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ अतः हम प्राप्त करते हैं कि मूल श्रेणी भी अभिसारी है।

इन्हें भी देखें

• अभिसरण परीक्षण
• प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण

बाहरी कड़ियाँ

• Pauls Online Notes on Comparison Test