हरात्मक संख्या

गणित में, nवीं हरात्मक संख्या प्रथम n प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रम का संकलन है। सामान्यतः इसे H_n से प्रदर्शित करते हैं:

हरात्मक संख्या

H_{n,1}

जहाँ

n=\lfloor {x}\rfloor

(लाल रेखा) अपनी उपगामी सीमा

\gamma +\ln[x]

(नीली रेखा) के साथ।

H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.

यह इन प्राकृत संख्याओं के हरात्मक माध्य के व्युत्क्रम का n गुणा भी होता है।

हरात्मक संख्याओं में अंतर्निहित तत्समकसंपादित करें

परिभाषानुसार हरात्मक संख्याएं पुनरावृत्ति सम्बंध को सन्तुष्ट करते हैं:

H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}.

वे निम्न तत्समक को भी सन्तुष्ट करते हैं

\sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n.

गणनासंपादित करें

ऑयलर द्वारा प्रतिपादित समाकल निरूपण

H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.

यह सरल बीजगणितीय तत्समकता का परिणाम है

{\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.

सरल समाकल सूत्र x = 1−u,H_n के लिए चारु संचयात्मक वाक्यांश निम्न है

{\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx\\&=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}

रेट्केस तत्समकता में $x_{1}=1,\ldots ,x_{n}=n$ लिखने और $\Pi _{k}(1,\ldots ,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!$ का उपयोग करने पर हमें निम्न निरूपण प्राप्त होता है $H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.$