हरात्मक संख्या

गणित में, nवीं हरात्मक संख्या प्रथम n प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रम का संकलन है। सामान्यतः इसे H_n से प्रदर्शित करते हैं:

हरात्मक संख्या $H_{n,1}$ जहाँ $n=\lfloor {x}\rfloor$ (लाल रेखा) अपनी उपगामी सीमा $\gamma +\ln[x]$ (नीली रेखा) के साथ।

$H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.$

यह इन प्राकृत संख्याओं के हरात्मक माध्य के व्युत्क्रम का n गुणा भी होता है।

हरात्मक संख्याओं में अंतर्निहित तत्समक

परिभाषानुसार हरात्मक संख्याएं पुनरावृत्ति सम्बंध को सन्तुष्ट करते हैं:

$H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}.$

वे निम्न तत्समक को भी सन्तुष्ट करते हैं

$\sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n.$

गणना

ऑयलर द्वारा प्रतिपादित समाकल निरूपण

$H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.$

यह सरल बीजगणितीय तत्समकता का परिणाम है

${\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.$

सरल समाकल सूत्र x = 1−u,H_n के लिए चारु संचयात्मक वाक्यांश निम्न है

${\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx\\&=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}$

रेट्केस तत्समकता में $x_{1}=1,\ldots ,x_{n}=n$ लिखने और $\Pi _{k}(1,\ldots ,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!$ का उपयोग करने पर हमें निम्न निरूपण प्राप्त होता है $H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.$

ये भी देखें

• हरात्मक श्रेणी

बाहरी कड़ियाँ

• Wolfram Mathworld में हरात्मक संख्या

सन्दर्भ

• ऑर्थर टी॰ बेंजामिन, ग्रेगरी ओ॰ प्रेस्टन, जेनिफर जे॰ क्विन, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers, (2002) मैथमेटिक्स पत्रिका, 75 (2) pp 95–103.
• डोनाल्ड नुथ. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp. 75–79.
• Ed Sandifer, How Euler Did It -- Estimating the Basel problem (2003)
• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर हरात्मक संख्या
• Peter Paule and Carsten Schneider, Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities, (2003) Adv. in Appl. Math. 31(2), pp. 359–378.
• Wenchang CHU, A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers, (2004) The Electronic Journal of Combinatorics, 11, #N15.
• Ayhan Dil and Istvan Mezo, A Symmetric Algorithm for Hyperharmonic and Fibonacci Numbers, (2008) Applied Mathematics and Computation 206, 942—951.
• Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard Inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), pages 95–106.