त्रिभुजों के हल

त्रिकोणमिति में 'त्रिभुज का हल' का मतलब त्रिभुज के सभी तीन कोण तथा तीन भुजाओं की लम्बाई ज्ञात करना है। इस समस्या में कुछ जानकारी दी होती है और शेष की गणना करनी होती है। नीचे कुछ प्रमुख स्थितियाँ दी गयीं है (S = Side (भुजा); A = Angle (कोण) -

• यदि दो कोण दिये हों तो तीसरा कोण = १८० - (पहला कोण + दूसरा कोण) ;

त्रिभुज के हल का विहंगम अवलोकन

• (SSS) यदि तीनों भुजाओं की लम्बाई दी हो तो कोई एक कोण निकालने के लिये कोज्या नियम (law of cosines) का सहारा लेना चाहिये ; उसके बाद ज्या नियम (law of sines) का सहारा लेते हुए आगे बढ़ना सरल रास्ता है।

• (SAS) यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो तो तीसरी भुजा का मान कोज्या नियम का प्रयोग करके निकाला जा सकता है। इसके बाद अधिक आसान ज्या नियम का सहारा लेते हुए अन्य कोण निकालने चाहिये

• (SSA) यदि दो भुजाएं तथा इनमें से किसी एक के सामने का कोण दिया हो तो ज्या नियम से दूसरी भुजा के सामने का कोण निकाल सकते हैं। फिर तीसरा कोण निकल जायेगा। इसके बाद पुनः ज्या नियम का उपयोग करते हुए तीसरी भुजा की लम्बाई ज्ञात कर सकते हैं।

• (AAS) & (ASA) यदि कोई एक भुजा और कोई दो कोण दिये हों तो पहले तीसरा कोण निकालिये; फिर ज्या नियम की सहायता से अन्य भुजाओं की लम्बाई निकाल लीजिये।

विभिन्न स्थितियों में त्रिभुज के अवयवों का निर्धारण

नीचे दिए गए चित्रों में नीले रंग से लिखी भुजाएँ या कोण ज्ञात हैं जबकि लाल रंग में लिखी चीजें अज्ञात हैं।

जब तीनों भुजाएँ ज्ञात हों

यदि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ a, b तथा c हों तो,

• $\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)$
• $\beta =\arccos \left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\right)$
• $\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)$
• $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},\,{\text{ तथा }}\,p={\frac {a+b+c}{2}}$

जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो

• $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$
• $\alpha ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}+\arctan \left({\frac {a-b}{a+b}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)$
• $\beta ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}-\arctan \left({\frac {a-b}{a+b}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)$
• $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$

दो भुजाएँ तथा उनमें से किसी एक के सामने का कोण ज्ञात हो

• $\gamma =\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)$
• $\alpha =\pi -\beta -\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)$
• $a={\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}+c\cos \beta$
• $S={\frac {1}{2}}c\left({\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}+c\cos \beta \right)\sin \beta$

यदि β न्यूनकोण हो तथा b < c, तो एक दूसरा हल भी प्राप्त होगा-

• $\gamma =\pi -\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)$
• $\alpha =-\beta +\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)$
• $a=c\cos \beta -{\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}$
• $S={\frac {1}{2}}c\left({\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}-c\cos \beta \right)\sin \beta$

उपरोक्त सूत्रों से स्पष्ट है कि a का मान वास्तविक तभी होगा जब

$b>c\sin \beta \,$.

अन्यथा त्रिभुज का हल सम्भव नहीं होगा।

कोई भुजा और उससे लगे दोनों कोण

• $\gamma =\pi -\alpha -\beta \,$
• $a={\frac {c\sin \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}$
• $b={\frac {c\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}$
• $S={\frac {1}{2}}c^{2}\,{\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}$

दो कोण तथा उनमें से किसी एक के सामने की भुजा

• $\gamma =\pi -\alpha -\beta \,$
• $b={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}$
• $c={\frac {a\sin(\alpha +\beta )}{\sin \alpha }}$
• $S={\frac {1}{2}}a^{2}\,{\frac {\sin(\alpha +\beta )\sin \beta }{\sin \alpha }}$

उपयोग

त्रिभुजों का हल अत्यन्त उपयोगी है। त्रिकोणीय सर्वेक्षण में इसका बहुत अधिक उपयोग होता है। इसके अलावा उँचाई और दूरी के सवालों के हल के लिये इसका उपयोग होता है।

बाहरी कड़ियाँ

• Triangulator - Triangle solver. Solve any triangle problem with the minimum of input data. Drawing of the solved triangle.