धनात्मक वास्तविक संख्यायें

गणित में, धनात्मक वास्तविक संख्यायें का समुच्चय, $\mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\},$ शून्य से अधिक मान वाली वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय है। ऋणेत्तर वास्तविक संख्याओं $\mathbb {R} _{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\},$ में शून्य भी शामिल होता है। यद्यपि इसके लिए प्रतीक के रूप में $\mathbb {R} _{+}$ और $\mathbb {R} ^{+}$ का उपयोग समान रूप से किया जाता है। समुच्चय $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}$ के लिए प्रतीक चिह्न $\mathbb {R} _{+}$ या $\mathbb {R} ^{+}$ और समुच्चय $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}$ के लिए प्रतीक चिह्न $\mathbb {R} _{+}^{*}$ या $\mathbb {R} _{*}^{+}$ व्यापक रूप से काम में लिया जाता है, एक सितारा (एस्ट्रिक्स) के साथ उस समुच्चय को प्रदर्शित किया जाता है जो शून्य अवयव रहित हो। यह गणितज्ञों के मध्य एक सामान्य अभ्यास है।

एक समिश्र तल में, $\mathbb {R} _{>0}$ को धनात्मक वास्तविक अक्ष से निरूपित किया जाता है और आमतौर पर एक क्षैतिज किरण के रूप में खींचा जाता है। इस किरण का उपयोग सम्मिश्र संख्या के ध्रुवीय रूप में निर्देश रेखा के रूप में किया जाता है। वास्तविक धनात्मक अक्ष को समिश्र संख्याओं में $z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },$ और कोणांक $\varphi =0$ के रूप में लिखी जाती है।

गुणधर्म

समुच्चय $\mathbb {R} _{>0}$ द्विचर संक्रियाओं जोड़, गुणा और भाग के लिए संवृत है। यह समुच्चय वास्तविक रेखा से एक टोपोलॉजी प्राप्त करता हैं और इस प्रकार एक गुणक टोपोलॉजी समूह या एक योज्य टोपोलॉजी अर्धसमूह की संरचना है।

किसी दी गयी धनात्मक वास्तविक संख्या $x$ के लिए इसकी पूर्णांक घातांकों का अनुक्रम $\left\{x^{n}\right\}$ तीन स्थितियाँ दर्शाता है: पहली स्थिति में $x\in (0,1)$ के लिए इसका सीमान्त मान शून्य होता है; दूसरी स्थिति $x=1$ में यह नियत और एकांक रहता है; और $x>1$ के लिए अनुक्रम अपरिबद्ध होता है।