रीमान-समाकल

गणित की वास्तविक विश्लेषण के रूप में पहचानी जाने वाली शाखा में रीमान समाकलन किसी फलन का किसी अन्तराल में परिभाषित प्रथम निश्चित परिभाषा है। यह परिभाषा बर्नहार्ड रीमान ने दी थी। विभिन्न फलनोम और प्रायोगिक अनुप्रयोगों के लिए रीमान समाकलन कलन की मूलभूत प्रमेय अथवा संख्यात्मक समाकलन के सन्निकटन द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।

वक्र के नीचे स्थित क्षेत्र के क्षेत्रफल के रूप में समाकलन

किसी अन्तराल के नियमित विभाजन के रीमान संकलनों का अनुक्रम। उपर प्रदर्शित अंक आयतों के कुल क्षेत्रफल को प्रदर्शित कर रहा है जो फलन के समाकल पर अभिसरित होता है।

इस चित्र में प्रदर्शित विधि के अनुसार विभाजन का नियमित होना आवश्यक नहीं है। जब प्रत्येक उपखण्ड शून्य की ओर अग्रसर होता है तो सन्निकटन कार्य करता है।

रीमान समाकलन विभिन्न सैद्धान्तिक उद्देश्यों के लिए अनुपयुक्त है।

अवलोकन

माना f अन्तराल [a, b] में धनात्मक वास्तविक-मान फलन है और माना

$S=\left\{(x,y)\,:\ a\leq x\leq b,0<y<f(x)\right\}$

अन्तराल [a, b] के उपर एवं फलन f से बनने वाले आरेख के नीचे का समतल क्षेत्र है (उपर दायें स्थित चित्र देखें)। हम S का क्षेत्रफल ज्ञात करना चाहते हैं। हमने एक बार इसका मापन किया और क्षेत्रफल को निम्नलिखित रूप में निरुपित करें:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

रीमान समाकलन का मूल विचार S का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सरलतम सन्निकटनों का उपयोग करना है। अच्छे से अच्छा सन्निकटन लेने से हमारा अर्थ है कि सीमान्त मान में वक्र के अन्तर्गत S के क्षेत्रफल के पूरी तरह से समान है।

ध्यान रहे कि यहाँ f धनात्मक अथवा ऋणात्मक हो सकता है, S की परिभाषा को संशोधित किया जाता है जिससे समाकलन का मान आरेख के अन्दर आने वाले चिह्नित क्षेत्रफल के अनुरूप हो अर्थात x-अक्ष के उपर का क्षेत्रफल x-अक्ष के नीचे नीचे के क्षेत्रफल में से घटाने के तुल्य हो।