लजान्द्र रूपान्तर

गणित में किसी वास्तविक मान वाले, तथा सभी बिन्दुओं पर अवकलनीय फलन f तथा g में निम्नलिखित सम्बन्ध हो तो g को f का लजान्द्र रूपान्तर (LegendreTransform) कहा जाता है। इस रूपान्तर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ आद्रियें मारि लजान्द्र (Adrien-Marie Legendre) के नाम पर पड़ा है।

लजान्द्र रूपान्तर की ज्यामितीय व्याख्या

$Df=\left(Dg\right)^{-1}$

जहाँ D , अवकलज (डिफरेंशियल) का प्रतीक है तथा दाहिनी ओर आने वाला -1 , प्रतिलोम फलन को सूचित कर रहा है। यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि g , f का लजान्द्र रूपान्तर हो तो f, g का लजान्द्र रूपान्तर होगा

उदाहरण के लिये, फलन $f(x)={\tfrac {x^{2}}{2}}$ तथा फलन $g(p)=-{\tfrac {p^{2}}{2}}$ एक दूसरे के लजान्द्र रूपान्तर हैं।

एक विशेष स्थिति में, यदि फलन f एक उत्तल फलन (कान्वेक्स फंक्शन) हो तो इसका लजान्द्र रूपान्तर ƒ^* निम्नलिखित सम्बन्ध द्वारा अभिव्यक्त किया जा सकता है-

$f^{\star }(p)=\sup _{x}{\bigl (}px-f(x){\bigr )}.$

उपयोग

• (१) ऊष्मागतिकी में - ऊष्मागतिक विभव प्राप्त करने के लिये,
• (२) क्लासिकल यांत्रिकी में -- to derive the Hamiltonian formalism out of the Lagrangian formalism
• (३) सांख्यिकीय यांत्रिकी में,
• (३) अनेक चरों वाले अवकल समीकरणों का हल प्राप्त करने के लिये।

उदाहरण

प्रथम उदाहरण

Let f(x) = cx² defined on R, where c > 0 is a fixed constant.

For x* fixed, the function x*x – f(x) = x*x – cx² of x has the first derivative x* – 2cx and second derivative −2c; there is one stationary point at x = x*/2c, which is always a maximum. Thus, I* = R and

$f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}$

Clearly,

$f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2},$

namely f ** = f.

द्वितीय उदाहरण

Let f(x) = x² for x ∈ I = [2, 3].

For x* fixed, x*x − f(x) is continuous on I compact, hence it always takes a finite maximum on it; it follows that I* = R. The stationary point at x = x*/2 is in the domain [2, 3] if and only if 4 ≤ x* ≤ 6, otherwise the maximum is taken either at x = 2, or x = 3. It follows that

$f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,\quad &x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leqslant x^{*}\leqslant 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6\end{cases}}$ .

तृतीय उदाहरण

The function f(x) = cx is convex, for every x (strict convexity is not required for the Legendre transformation to be well defined). Clearly x*x − f(x) = (x* − c)x is never bounded from above as a function of x, unless x* − c = 0. Hence f* is defined on I* = {c} and f*(c) = 0.

One may check involutivity: of course x*x − f*(x*) is always bounded as a function of x* ∈ {c}, hence I ** = R. Then, for all x one has

$\sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,$

and hence f **(x) = cx = f(x).

चतुर्थ उदाहरण (अनेक चर)

Let

$f(x)=\langle x,Ax\rangle +c$

be defined on X = Rⁿ, where A is a real, positive definite matrix. Then f is convex, and

$\langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,$

has gradient p − 2Ax and Hessian −2A, which is negative; hence the stationary point x = A⁻¹p/2 is a maximum. We have X* = Rⁿ, and

$f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c$ .

गुण

$f(x)$	$\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star })$	$\operatorname {dom} f^{\star }$	शर्तें
$af(x)$	$\operatorname {dom} f$	$af^{\star }(x^{\star }/a)$	$a\cdot \operatorname {dom} f^{\star }$	$a>0$
$f(ax)$	$a^{-1}\cdot \operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star }/a)$	$a\cdot \operatorname {dom} f^{\star }$	$a>0$
$f(x)+a$	$\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star })-a$	$\operatorname {dom} f^{\star }$	$a\in \mathbb {R}$
$f(x-a)$	$a+\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star })+ax^{\star }$	$\operatorname {dom} f^{\star }$	$a\in \mathbb {R}$
$f(x)+ax$	$\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star }-a)$	$a+\operatorname {dom} f^{\star }$	$a\in \mathbb {R}$
$f(x)+g(x)$	$\operatorname {dom} f\cap \operatorname {dom} g$	$(f^{\star }\star _{\text{inf}}g^{\star })(x^{\star })$	$\operatorname {dom} f^{\star }+\operatorname {dom} g^{\star }$	$(f\star _{\text{inf}}g)(x)=\inf _{y}\{f(x-y)+g(y)\}$
$(f\star _{\text{inf}}g)(x)$	$\operatorname {dom} f+\operatorname {dom} g$	$f^{\star }(x^{\star })+g^{\star }(x^{\star })$	$\operatorname {dom} f^{\star }\cap \operatorname {dom} g^{\star }$	$(f\star _{\text{inf}}g)(x)=\inf _{y}\{f(x-y)+g(y)\}$
$ax+b$	$\mathbb {R}$	$-b$	$\{a\}$
$|x|^{p}/p$	$\mathbb {R}$	$|x^{\star }|^{p^{\star }}/p^{\star }$	$\mathbb {R}$	$1/p+1/p^{\star }=1$, $p>1$
$-x^{p}/p$	$[0,\infty )$	$-|x^{\star }|^{p^{\star }}/p^{\star }$	$(-\infty ,0]$	$1/p+1/p^{\star }=1$, $p<1$
$\exp(x)$	$\mathbb {R}$	$x^{\star }(\ln(x^{\star })-1)$	$\mathbb {R} ^{+}$
$x\ln(x)$	$\mathbb {R} ^{+}$	$\exp(x-1)$	$\mathbb {R}$
$-1/2-\ln x$	$\mathbb {R} ^{+}$	$-1/2-\ln |x^{\star }|$	$\mathbb {R} ^{-}$
$x\exp(x+1)$	$\mathbb {R}$	$x^{\star }(W(x^{\star })-1)^{2}/W(x^{\star })$	$[-1/e,\infty )$	लैम्बर्ट का W फलन

इन्हें भी देखें

• लाप्लास रूपान्तर
• फूर्ये रूपान्तर