अपसारी गुणोत्तर श्रेणी

गणित में निम्न प्रकार की अनन्त गुणोत्तर श्रेणी

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots$

अपसारी होगी यदि और केवल यदि | r | ≥ 1 .

अपसारी श्रेणी के संकलन (summation) की विधि कभी-कभी उपयोगी होती हैं और अपसारी गुणोत्तर श्रेणी का योग उस पद तक ज्ञात करते हैं जो अनन्त अभिसारी श्रेणी के योग के सूत्र जैसा ही होता है-

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}$.

उदाहरण

• 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·, जिसका सार्व अनुपात -1 है।
• 1 − 2 + 4 − 8 + · · ·, जिसका सार्व अनुपात -2 है।
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·, जिसका सार्व अनुपात 2 है।
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·, जिसका सार्व अनुपात 1 है।

क्षेत्र संकलनीयता

विवृत इकाई चकती

साधारण संकलन केवल सामान्य अनुपात |z|<1 के लिए ही संकलनीय है।

संवृत इकाई चकती

• सिसैरा-संकलन
• हाबिल संकलन

दीर्घतर चकती

• ऑयलर संकलन

अर्द्ध तल

श्रेणी प्रत्येक z जिसका वास्तविक भाग < 1 के लिए बोरल संकलनीय है। ऐसी श्रेणियाँ उपयुक्त a के लिए व्यापक ऑयलर विधि (E,a) द्वारा भी संकलनीय है।

सन्दर्भ

• कोरेवार (Korevaar), जैकब (Jacob) (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 3-540-21058-X.
• मॉरोज़, अलेक्जेंडर। "Quantum Field Theory as a Problem of Resummation" आर्काइव hep-th/9206074।