१ + २ + ४ + ८ + · · ·

गणित में 1 + 2 + 4 + 8 + · · · एक अनन्त श्रेणी है जिसके व्यंजक उत्तरोतर दो की घात के रूप में हैं। एक गुणोत्तर श्रेणी के रूप में इसका प्रथम पद 1, है और सार्वानुपात 2 है। एक वास्तविक संख्याओं की श्रेणी के रूप में यह अनन्त पर अपसरण करती है, अतः वास्तविक परिदृश्य में इसका संकलन महत्व हीन है। व्यापक अभिप्राय से देखने पर श्रेणी ∞ के अतिरिक्त अन्य मान से भी सम्बंधित है और यह संख्या -1 है।

संकलन

श्रेणी के आंशिक योग 1 + 2 + 4 + 8 + . . ., 1, 3, 7, 15, ... हैं; चूंकि ये मान श्रेणी की तरह अनन्त पर अपसरण करते हैं। अतः सिसैरा-संकलन और हाबिल-संकलन सहित कोई भी ज्ञात विधि से इसका योग अनन्त ही प्राप्त होता है। दूसरी तरफ अन्य व्यापक रूप से उपयोगी विधि द्वारा जो 1 + 2 + 3 + 4 + . . . का परिमित मान -1 प्ताप्त होता है। सम्बंधित घातिय श्रेणी :

$f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}$

की अभिसरण त्रिज्या 0 से ¹/₂ के मध्य है, अतः यह x = 1 पर अभिसारी नहीं है।

ये भी देखें

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
• 1 − 2 + 4 − 8 + · · ·

सन्दर्भ

• (वीर गडरिया) पाल बघेल धनगर
• गार्डिनर, ए॰ (2002) [1982]. Understanding infinity: the mathematics of infinite processes (Dover संस्करण). Dover. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-486-42538-X.
• हार्डी, जी॰एच॰ (1949). अपसारी श्रेणी (Divergent Series). Clarendon Press. एल॰एल॰सी॰ QA295 .H29 1967.