कौशी आव्यूह

गणित में कौशी के नाम से नामकरण किया गया कौशी आव्यूह अथवा कौशी मैट्रिक्स एक m× n का आव्यूह है जहाँ a_ij निम्न प्रकार परिभाषित है

$a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n$

जहाँ $x_{i}$ और $y_{j}$ क्षेत्र ${\mathcal {F}}$ के अवयव हैं और $(x_{i})$ और $(y_{j})$ एकैकी अनुक्रम हैं (इनमें पुनरावृत्‍त अवयव समाहित नहीं हैं अर्थात सभी अवयव भिन्न हैं).

कौशी

हिल्बर्ट आव्यूह कौशी आव्यूह की विशेष स्थिति है, जहाँ

$x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;$

कौशी आव्यूह का प्रत्येक उपाआव्यूह अपने आप में एक कौशी आव्यूह है।

कौशी सारणिक

मुख्य लेख: कौशी सारणिक

कौशी आव्यूह का सारणिक प्राचलों $(x_{i})$ और $(y_{j})$ का स्पष्ट रूप से एक परिमेय फलन होगा।

व्यापकीकरण

एक आव्यूह C कौशी स्दृश्य कहलाता है यदि इसे निम्न रूप में लिखा जा सके

$C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.$

X=diag(x_i), Y=diag(y_i) परिभषित करने पर, दोनों कौशी और कौशी सदृश आव्यूह विस्तापन समीकरण सन्तुष्ट करते हैं

$\mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }$

(जहां कौशी आव्यूह के लिए $r=s=(1,1,\ldots ,1)$)। अतः कौशी स्दृश आव्यूह एक सामान्य विस्थापन आव्यूह है,

ये भी देखें

टोएपलित्ज़ आव्यूह

सन्दर्भ

• A. Gerasoulis (1988). "A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors" (PDF). Mathematics of Computation. 50 (181): 179–188. मूल से 24 अक्तूबर 2012 को पुरालेखित (PDF). अभिगमन तिथि 5 मई 2013.
• I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky (1995). "Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure" (PDF). Mathematics of Computation. 64 (212): 1557–1576. मूल से 24 अक्तूबर 2012 को पुरालेखित (PDF). अभिगमन तिथि 5 मई 2013.सीएस1 रखरखाव: एक से अधिक नाम: authors list (link)
• P. G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin (2005). "An $O(N\log ^{2}N)$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices" (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 50: 741–752. मूल से 27 सितंबर 2011 को पुरालेखित (PDF). अभिगमन तिथि 5 मई 2013.सीएस1 रखरखाव: एक से अधिक नाम: authors list (link)
• S. Schechter (1959). "On the inversion of certain matrices" (PDF). Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 13 (66): 73–77. मूल से 24 अक्तूबर 2012 को पुरालेखित (PDF). अभिगमन तिथि 5 मई 2013.