"लाप्लास रूपान्तर": अवतरणों में अंतर
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[[Image:LTI.png|right|thumb|300px|टाइम डोमेन और फ्रेक्वेन्सी डोमेन]]
'''लाप्लास रूपान्तर''' (Laplace transform) एक प्रकार का [[समाकल रूपान्तर]] (integral transform) है। यह [[भौतिक शास्त्र|भौतिकी]] एवं [[अभियान्त्रिकी|इंजीनियरी]] के अनेकानेक क्षेत्रों में प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए [[परिपथ विश्लेषण]] में। इसको <math> \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}</math> से निरूपित करते हैं। यह एक रैखिक संक्रिया है जो वास्तविक अर्गुमेन्ट t (t ≥ 0) वाले फलन '''f(t)''' को समिश्र अर्गुमेन्ट वाले फलन '''F(s)''' में बदल देता है।
लाप्लास रूपान्तर, प्रसिद्ध गणितज्ञ खगोलविद [[पियेर सिमों लाप्लास|पिएर सिमों लाप्लास]] के नाम पर रखा गया है। लाप्लास रूपान्तर का उपयोग [[अवकल समीकरण]] तथा [[समाकल समीकरण]] (इंटीग्रल इक्वेशन) हल करने में किया जाता है।
== परिभाषा ==
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== गुण ==
=== [[रैखिक निकाय|रैखिकता]]===
:<math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
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: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
= f(t - a) u(t - a)</math>
टिप्पणी: <math>u(t)</math> का अर्थ है [[इकाई पग-फलन|यूनिट स्टेप फलन]]
=== समय के ''n''-घात से गुणा ===
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=== अनुप्रयोग : दो लूप वाले एक परिपथ की क्षणिक अनुक्रिया (रिस्पॉन्स) ===
[[चित्र:Circuito de duas malhas.png|right|371x371px|thumb|दो लूप वाला एक परिपथ]]
पार्श्व चित्र को देखें जिसमें दो लूप हैं। इनमें बहने वाली धारा <math>i_1</math> तथा <math>i_2</math> चित्र में दर्शायी गयी हैं। माना <math>i_1</math> तथा <math>i_2</math> के आरम्भिक मान शून्य हैं, अर्थात् <math>i_1(0)=0</math> और <math>i_2(0)=0</math>। [[किरचॉफ के परिपथ के नियम|किरखॉफ के नियम]] के अनुसार,
<math>{di_1(t) \over dt}+5i_1(t)+40i(t)=110</math> (1)
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== इन्हें भी देखें ==
* [[फूर्ये रूपान्तर|फुर्ये रूपान्तर]]
* [[जेड रूपान्तर]] (Z-transform)
* [[अंतरण प्रकार्य]] (transfer function)
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