"अवकल गणित": अवतरणों में अंतर
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अनुनाद सिंह (वार्ता | योगदान) |
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पंक्ति 159:
:: <math>\ = \frac{1 - \operatorname{ln} x}{x^2}</math>
; उदाहरण-५
:<math>\ f(x) = x^x</math>
यहाँ दोनों पक्षों का लघुगण्क (log) लेने से काम आसान हो जाता है।
: <math>\ \operatorname{ln} f(x) = x \cdot \operatorname{ln} x</math>
अब दोनों पक्षों का अवकलन करते हैं-
: <math>\ \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = (x)' \cdot \operatorname{ln} x + x \cdot (\operatorname{ln} x)'</math>
: <math>\ \frac{f'(x)}{f(x)} = \operatorname{ln} x + x \cdot \frac{1}{x}</math>
: <math>f'(x) = f(x) \cdot (\operatorname{ln} x + 1)</math>
अन्ततः <math>\ f(x) = x^x</math>, रख देने पर
: <math>f'(x) = x^x(\operatorname{ln} x + 1)</math>
; उदाहरण-६
: <math>\ 2xy^2 = \sqrt{y} + 5xy</math>
: <math>\ 2(xy^2)' = (\sqrt{y})' + 5(xy)'</math>
: <math>\ 2[(x)'y^2 + x \cdot 2y(y)'] = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot (y)' + 5[(x)'y + x(y)']</math>
चूंकि <math>\ x' = 1</math>, अतः
: <math>\ 2(y^2 + 2xy \cdot y') = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot y' + 5(y + x \cdot y')</math>
: <math>\ 2y^2 + 4xy \cdot y' = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot y' + 5y + 5x \cdot y'</math>
अब <math>\ y'</math> वाले सभी पदों को बाँयी ओर ले जाने पर,
: <math>\ 4xy \cdot y' - \frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot y' - 5x \cdot y' = 5y - 2y^2</math>
: <math>\ y' \cdot (4xy - \frac{1}{2 \sqrt{y}} - 5x) = 5y - 2y^2</math>
: <math>\ y' = \frac{5y - 2y^2}{4xy - \frac{1}{2 \sqrt{y}} - 5x}</math>
==उपयोग==
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