संकलन

संख्याओं के किसी क्रम को जोड़ने की संक्रिया संकलन (Summation) कहलाती है। इसका परिणाम योग (sum) या कुलयोग (total) कहलाती है।

प्रतीक (notation)

कैपितल सिग्मा (Capital-sigma)

यह निम्नलिखित तरीके से परिभाषित है-

$\sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}.$

एक उदाहरण-

$\sum _{k=2}^{6}k^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90.$

संकलन से संबंधित सर्वसमिकाएँ (Identities)

सामान्य

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)$, जहाँ C एक स्थिरांक है

$\sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]$

$\sum _{n=s}^{t}f(n)-\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)-g(n)\right]$

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)$

$\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)$

$\left(\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i}b_{j}$

$\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}$

$\sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)$

$\sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)$

$\sum _{n=s}^{t}\ln f(n)=\ln \prod _{n=s}^{t}f(n)$

$c^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{f(n)}$

बहुपद ब्यंजकों का संकलन

$\sum _{i=m}^{n}1=n-m+1$

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}$ (देखें हरात्मक संख्या)

$\sum _{i=m}^{n}i={\frac {(n-m+1)(n+m)}{2}}$ (देखें समांतर श्रेणी)

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ (समांतर श्रेणी का विशेष मामला)

$\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]^{2}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}$

$\sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}$ जहाँ $B_{k}$ एक बर्नौली संख्या को दर्शाता है।

निम्नलिखित सूत्र $\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}$ किसी भी प्राकृतिक संख्या मान पर एक श्रेणी शुरू करने के लिए सामान्यीकृत के जोड़तोड़ हैं (i.e., $m\in \mathbb {N}$):

$\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}=\sum _{i=m}^{n}(i^{3}-im(m-1))$

$\sum _{i=m}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}+m(m-1)\sum _{i=m}^{n}i$

चरघातांकी पदों के योग

नीचे के योगों में x एक स्थिरांक है जो 1 . के बराबर नहीं है

$\sum _{i=m}^{n-1}x^{i}={\frac {x^{m}-x^{n}}{1-x}}$ (m < n; देखें गुणोत्तर श्रेणी)

$\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}={\frac {1-x^{n}}{1-x}}$ (1 से शुरू होने वाली गुणोत्तर श्रेणी)

$\sum _{i=0}^{n-1}ix^{i}={\frac {x-nx^{n}+(n-1)x^{n+1}}{(1-x)^{2}}}$

$\sum _{i=0}^{n-1}i2^{i}=2+(n-2)2^{n}$ (विशेष स्थिति जब x = 2)

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {i}{2^{i}}}=2-{\frac {n+1}{2^{n-1}}}$ (विशेष स्थिति जब x = 1/2)

द्विपद गुणांकों वाले संकलन (summations involving binomial coefficients)

द्विपद गुणांकों (ठोस गणित का एक पूरा अध्याय केवल बुनियादी तकनीकों के लिए समर्पित है) को शामिल करने वाली बहुत सारी योग सर्वसमिकाएँ मौजूद हैं। कुछ सबसे बुनियादी निम्नलिखित हैं।

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}$

$\sum _{i=1}^{n}i{n \choose i}=n2^{n-1}$

$\sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor$

$\sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}$, द्विपद प्रमेय

वृद्धि दर

निम्नलिखित उपयोगी सन्निकटन है,(थीटा प्रतीक का उपयोग करके):

$\sum _{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})$ −1 से अधिक वास्तविक c के लिए

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log n)$ (देखें हरात्मक संख्या)

$\sum _{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})$ वास्तविक c के लिए 1 से बड़ा

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक c के लिए

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक c, d के लिए

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक के लिए b> 1, c, d

बाहरी कड़ियाँ

• Derivation of Polynomials to Express the Sum of Natural Numbers with Exponents