स्थितिज ऊर्जा

अन्य वस्तुओं के साथ अपने सापेक्ष स्थिति के कारण, या स्वयं के भीतर तनाव के कारण, विद्युत आवेश या अन्य कारकों के कारण किसी वस्तु में जो ऊर्जा होती है उसे स्थितिज ऊर्जा (potential energy) कहते हैं। इसका अंतर्राष्ट्रीय इकाई मात्रक जूल है। स्थितिज का विमीय सूत्र ML²T^-2 है।

रोलर कोस्टर में जब गाड़ी सबसे ऊँचाई पर रहती है तो उसकी स्थितिज ऊर्जा भी सर्वाधिक होती है तथा जब वो

तनी हुई डोरी वाली धनुष में स्थितिज ऊर्जा होती है।

सबसे नीचे आती है तो उसमें गतिज ऊर्जा सर्वाधिक होती है। अर्थात स्थितिज ऊर्जा =mgh

इस प्रकार, यदि किसी वस्तु को भूमि के सतह से ऊपर उठा दिया जाय तो उसमें स्थितिज ऊर्जा संचित हो गयी है (वस्तु को छोड़ने पर वह धरती की ओर गिरती है और उसकी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में बदल जाती है। यदि यह वस्तु किसी दूसरी वस्तु के ऊपर गिरे तो उसकी यह गतिज ऊर्जा उष्मीय ऊर्जा एवं ध्वनि ऊर्जा में बदल जाती है।

इसी प्रकार तने हुए या दबाए हुए स्प्रिंग में भी स्थितिज ऊर्जा होती है। ऊँचाई पर भण्डारित जल में स्थितिज ऊर्जा होती है जिसका उपयोग जलविद्युत उत्पन्न करने में किया जाता है। एक-दूसरे के कुछ दूरी पर रखे दो आवेशों के निकाय में भी स्थितिज ऊर्जा छिपी हुई है। धनुष की डोरी जब तनी हुई हो तो उसमें स्थितिज ऊर्जा है।

धरती के सतह के पास किसी वस्तु की स्थितिज ऊर्जा = m g h , जहाँ m वस्तु का द्रव्यमान, g गुरुत्वजनित त्वरण, तथा h भूमि की सतह से ऊँचाई है।

अवलोकन

विभिन्न प्रकार की संभावित ऊर्जा होती है, जिनमें से प्रत्येक एक विशेष प्रकार के बल से जुड़ी होती है। उदाहरण के लिए, लोचदार बल के कार्य को लोचदार संभावित ऊर्जा कहा जाता है; गुरुत्वाकर्षण बल के कार्य को गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा कहा जाता है; कूलम्ब बल के कार्य को विद्युत संभावित ऊर्जा कहा जाता है; बैरियन आवेश पर कार्य करने वाले मजबूत परमाणु बल या कमजोर परमाणु बल के कार्य को परमाणु संभावित ऊर्जा कहा जाता है; अंतरआणविक बलों के कार्य को अंतरआणविक संभावित ऊर्जा कहा जाता है। रासायनिक संभावित ऊर्जा, जैसे कि जीवाश्म ईंधन में संग्रहीत ऊर्जा, परमाणुओं और अणुओं में इलेक्ट्रॉनों और नाभिकों के विन्यास के पुनर्व्यवस्था के दौरान कूलम्ब बल का कार्य है। तापीय ऊर्जा में आमतौर पर दो घटक होते हैं: कणों की यादृच्छिक गति की गतिज ऊर्जा और उनके विन्यास की संभावित ऊर्जा। विभव से व्युत्पन्न बलों को संरक्षी बल भी कहा जाता है। संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य$$W=-\Delta U$$जहाँ $\Delta U$ बल से जुड़ी संभावित ऊर्जा में परिवर्तन है। ऋणात्मक चिह्न यह परंपरा प्रदान करता है कि बल क्षेत्र के विरुद्ध किया गया कार्य संभावित ऊर्जा को बढ़ाता है, जबकि बल क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य संभावित ऊर्जा को घटाता है। संभावित ऊर्जा के लिए सामान्य संकेतन PE, U, V, और E_p हैं। संभावित ऊर्जा किसी वस्तु की अन्य वस्तुओं के सापेक्ष स्थिति के आधार पर ऊर्जा है। संभावित ऊर्जा को अक्सर बल जैसे कि स्प्रिंग या गुरुत्वाकर्षण के बल को बहाल करने से जोड़ा जाता है। स्प्रिंग को खींचने या द्रव्यमान को उठाने की क्रिया एक बाहरी बल द्वारा की जाती है जो संभावित बल क्षेत्र के विरुद्ध काम करता है। यह कार्य बल क्षेत्र में संग्रहीत होता है, जिसे संभावित ऊर्जा के रूप में संग्रहीत कहा जाता है। यदि बाहरी बल हटा दिया जाता है, तो बल क्षेत्र कार्य करने के लिए शरीर पर कार्य करता है क्योंकि यह शरीर को प्रारंभिक स्थिति में वापस ले जाता है, जिससे स्प्रिंग का खिंचाव कम हो जाता है या शरीर गिर जाता है।

एक गेंद पर विचार करें जिसका द्रव्यमान m है जिसे h ऊँचाई से गिराया गया है। मुक्त गिरावट का त्वरण g लगभग स्थिर है, इसलिए गेंद का भार बल mg स्थिर है। बल और विस्थापन का गुणनफल किया गया कार्य देता है, जो गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा के बराबर होता है, इस प्रकार$$U_{g}=mgh.$$अधिक औपचारिक परिभाषा यह है कि संभावित ऊर्जा किसी दिए गए स्थान पर किसी वस्तु की ऊर्जा और संदर्भ स्थिति पर उसकी ऊर्जा के बीच ऊर्जा अंतर है।

इतिहास

लगभग 1840 से वैज्ञानिकों ने ऊर्जा और कार्य को परिभाषित करने और समझने की कोशिश की। शब्द "संभावित ऊर्जा" विलियम रैंकिन द्वारा 1853 में शब्दावली विकसित करने के एक विशिष्ट प्रयास के हिस्से के रूप में गढ़ा गया था। उन्होंने इस शब्द को "वास्तविक" बनाम "संभावित" जोड़ी के हिस्से के रूप में चुना, जो अरस्तू के काम पर वापस जाता है। 1867 में इसी विषय पर अपनी चर्चा में रैंकिन ने संभावित ऊर्जा को 'संरचना की ऊर्जा' के रूप में वर्णित किया, जबकि वास्तविक ऊर्जा को 'गतिशीलता की ऊर्जा' के रूप में वर्णित किया। 1867 में ही, विलियम थॉमसन ने "गतिज ऊर्जा" को "संभावित ऊर्जा" के विपरीत पेश किया, जिसमें कहा गया कि सभी वास्तविक ऊर्जा 1/2mv² का रूप लेती है। एक बार जब यह परिकल्पना व्यापक रूप से स्वीकार कर ली गई, तो "वास्तविक ऊर्जा" शब्द धीरे-धीरे फीका पड़ गया।

कार्य और संभावित ऊर्जा

संभावित ऊर्जा का बलों से गहरा संबंध है। यदि A से B की ओर गति करने वाले किसी पिंड पर बल द्वारा किया गया कार्य इन बिंदुओं के बीच के पथ पर निर्भर नहीं करता है (यदि कार्य किसी संरक्षी बल द्वारा किया जाता है), तो A से मापे गए इस बल का कार्य अंतरिक्ष में हर दूसरे बिंदु को एक अदिश मान प्रदान करता है और एक अदिश संभावित क्षेत्र को परिभाषित करता है। इस मामले में, बल को संभावित क्षेत्र के वेक्टर ग्रेडिएंट के ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। <के ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।बहुत अधिक विवरण चलती हुई वस्तु पर कार्य करने वाले बल के कार्य से संभावित ऊर्जा में अंतर उत्पन्न होता है जब कार्य का एकीकरण पथ स्वतंत्र होता है। बल F और इसके अनुप्रयोग बिंदु के वेग v का अदिश गुणनफल समय के एक पल में सिस्टम में पावर इनपुट को परिभाषित करता है। अनुप्रयोग बिंदु के प्रक्षेप पथ पर इस शक्ति का एकीकरण, d=x(t), बल द्वारा सिस्टम में इनपुट किए गए कार्य को परिभाषित करता है। --> यदि लागू किए गए बल के लिए कार्य पथ से स्वतंत्र है, तो बल द्वारा किए गए कार्य का मूल्यांकन अनुप्रयोग बिंदु के प्रक्षेप पथ के आरंभ से अंत तक किया जाता है। इसका मतलब है कि एक फ़ंक्शन U(x) है, जिसे \"संभावित\" कहा जाता है, जिसका मूल्यांकन दो बिंदुओं x_A और x_B पर इन दो बिंदुओं के बीच किसी भी प्रक्षेप पथ पर कार्य प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। इस फ़ंक्शन को नकारात्मक चिह्न के साथ परिभाषित करना परंपरा है ताकि सकारात्मक कार्य संभावित में कमी हो, अर्थात$$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf {x} _{\text{A}})-U(\mathbf {x} _{\text{B}})$$जहाँ C A से B तक लिया गया प्रक्षेप पथ है। चूँकि किया गया कार्य लिए गए पथ से स्वतंत्र है, तो यह अभिव्यक्ति A से B तक किसी भी प्रक्षेप पथ, C के लिए सत्य है। फ़ंक्शन U(x) को लागू बल से जुड़ी संभावित ऊर्जा कहा जाता है। संभावित ऊर्जा वाले बलों के उदाहरण गुरुत्वाकर्षण और स्प्रिंग बल हैं।

एक संभावित से व्युत्पन्न

इस अनुभाग में कार्य और संभावित ऊर्जा के बीच संबंध को अधिक विस्तार से प्रस्तुत किया गया है। वक्र C के साथ कार्य को परिभाषित करने वाला लाइन इंटीग्रल एक विशेष रूप लेता है यदि बल F एक स्केलर क्षेत्र U′(x) से संबंधित है इसका मतलब है कि U′ की इकाइयाँ इस मामले में होनी चाहिए, वक्र के साथ काम इस प्रकार दिया जाता है $$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{C}ablaU'\cdot d\mathbf {x} ,$$जिसका मूल्यांकन ग्रेडिएंट प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है$$W=U'(\mathbf {x} _{\text{B}})-U'(\mathbf {x} _{\text{A}}).$$इससे पता चलता है कि जब बल एक अदिश क्षेत्र से व्युत्पन्न होते हैं, तो वक्र C के साथ उन बलों के काम की गणना वक्र के आरंभ बिंदु A और अंत बिंदु B पर अदिश क्षेत्र का मूल्यांकन करके की जाती है। इसका मतलब है कि कार्य समाकल A और B के बीच के पथ पर निर्भर नहीं करता है और इसे पथ से स्वतंत्र कहा जाता है। संभावित ऊर्जा U = −U′(x) को पारंपरिक रूप से इस अदिश क्षेत्र के ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जाता है, ताकि बल क्षेत्र द्वारा कार्य संभावित ऊर्जा को कम कर दे, अर्थात$$W=U(\mathbf {x} _{\text{A}})-U(\mathbf {x} _{\text{B}}).$$इस मामले में, कार्य फ़ंक्शन पर डेल ऑपरेटर के अनुप्रयोग से यह प्राप्त होता है,$${ablaW}=-{ablaU}=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,$$और बल F को \"से व्युत्पन्न\" कहा जाता है इसका यह भी अनिवार्य रूप से तात्पर्य है कि F एक संरक्षी सदिश क्षेत्र होना चाहिए। संभावित U अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु x पर एक बल F को परिभाषित करता है, इसलिए बलों के सेट को बल क्षेत्र कहा जाता है।

संभावित ऊर्जा की गणना

एक बल क्षेत्र F(x) दिए जाने पर, ग्रेडिएंट प्रमेय का उपयोग करके कार्य समाकलन का मूल्यांकन संभावित ऊर्जा से जुड़े अदिश फ़ंक्शन को खोजने के लिए किया जा सकता है। यह एक पैरामीटरयुक्त वक्र γ(t) = r(t) को γ(a) = A से γ(b) = B तक शुरू करके और गणना करके किया जाता है,$${\begin{aligned}\int _{\gamma }abla\Phi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} &=\int _{a}^{b}abla\Phi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)dt,\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\Phi (\mathbf {r} (t))dt=\Phi (\mathbf {r} (b))-\Phi (\mathbf {r} (a))=\Phi \left(\mathbf {x} _{B}\right)-\Phi \left(\mathbf {x} _{A}\right).\end{aligned}}$$बल क्षेत्र F के लिए, मान लें कि v = dr/dt, तो ग्रेडिएंट प्रमेय परिणाम देता है,$${\begin{aligned}\int _{\gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt,\\&=-\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}U(\mathbf {r} (t))\,dt=U(\mathbf {x} _{A})-U(\mathbf {x} _{B}).\end{aligned}}$$बल क्षेत्र द्वारा किसी पिंड पर लगाई गई शक्ति, अनुप्रयोग बिंदु के वेग v की दिशा में कार्य या विभव के ढाल से प्राप्त होती है, अर्थात$$P(t)=-{ablaU}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .$$संभावित कार्यों से गणना किए जा सकने वाले कार्य के उदाहरण गुरुत्वाकर्षण और स्प्रिंग बल हैं।

पृथ्वी के निकट गुरुत्वाकर्षण के लिए संभावित ऊर्जा

[[फ़ाइल: ट्रेबुशेट.jpg|thumb|एक ट्रेबुशेट दो सौ मीटर से अधिक दूरी तक प्रक्षेप्य फेंकने के लिए काउंटरवेट की गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा का उपयोग करता है]] छोटे ऊंचाई परिवर्तनों के लिए, गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा की गणना $$U_{g}=mgh,$$ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ m किलोग्राम में द्रव्यमान है, g स्थानीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (पृथ्वी पर 9.8 मीटर प्रति सेकंड वर्ग) है, h मीटर में संदर्भ स्तर से ऊपर की ऊँचाई है, और U जूल में ऊर्जा है। शास्त्रीय भौतिकी में, गुरुत्वाकर्षण पृथ्वी की सतह के पास गतिमान पिंड के द्रव्यमान के केंद्र पर एक निरंतर नीचे की ओर बल लगाता है। एक प्रक्षेप पथ पर गतिमान पिंड पर गुरुत्वाकर्षण का कार्य r(t) = (x(t), y(t), z(t)), जैसे कि रोलर कोस्टर का ट्रैक, उसके वेग का उपयोग करके गणना की जाती है, v = (v_x, v_y, v_z), प्राप्त करने के लिए $$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{z}v_{z}\,dt=F_{z}\Delta z.$$ जहाँ वेग के ऊर्ध्वाधर घटक का समाकल ऊर्ध्वाधर दूरी है। गुरुत्वाकर्षण का कार्य केवल वक्र की ऊर्ध्वाधर गति पर निर्भर करता है r(t).

एक रेखीय स्प्रिंग के लिए संभावित ऊर्जा

साँचा:मुख्य लेख [[फ़ाइल:स्प्रिंग्स 009.jpg|thumb|right|स्प्रिंग्स का उपयोग लोचदार संभावित ऊर्जा]] को संग्रहीत करने के लिए किया जाता है [[फ़ाइल:लॉन्गबोमेन.jpg|thumb|right|तीरंदाजी लोचदार संभावित ऊर्जा के मानव जाति के सबसे पुराने अनुप्रयोगों में से एक है]] एक क्षैतिज स्प्रिंग एक बल लगाती है F = (−kx, 0, 0) जो अक्षीय या x दिशा में इसके विरूपण के समानुपाती होता है। अंतरिक्ष वक्र के साथ गतिमान पिंड पर इस स्प्रिंग का कार्य s(t) = (x(t), y(t), z(t)), इसके वेग का उपयोग करके गणना की जाती है, v = (v_x, v_y, v_z), प्राप्त करने के लिए $$W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}\,dt=-\int _{0}^{t}kx{\frac {dx}{dt}}dt=\int _{x(t_{0})}^{x(t)}kx\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}$$ सुविधा के लिए, स्प्रिंग के साथ संपर्क t = 0 पर होने पर विचार करें, फिर दूरी x और x-वेग, xv_x के गुणनफल का समाकलन x²/2 है। फ़ंक्शन $$U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2},$$ को रैखिक स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा कहा जाता है। प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा एक प्रत्यास्थ वस्तु (उदाहरण के लिए एक धनुष या गुलेल) की स्थितिज ऊर्जा है जो तनाव या संपीड़न (या औपचारिक शब्दावली में तनावग्रस्त) के तहत विकृत होती है। यह एक बल के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है जो वस्तु को उसके मूल आकार में वापस लाने की कोशिश करता है, जो अक्सर वस्तु का निर्माण करने वाले परमाणुओं और अणुओं के बीच विद्युत चुम्बकीय बल होता है। यदि खिंचाव जारी किया जाता है, तो ऊर्जा गतिज ऊर्जा में बदल जाती है।

दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बलों के लिए संभावित ऊर्जा

गुरुत्वाकर्षण संभावित फ़ंक्शन, जिसे गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा के रूप में भी जाना जाता है, है: $$U=-{\frac {GMm}{r}},$$ नकारात्मक चिह्न उस परंपरा का पालन करता है जिसके अनुसार संभावित ऊर्जा की हानि से कार्य प्राप्त होता है।

दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बलों के लिए संभावित ऊर्जा

गुरुत्वाकर्षण संभावित फ़ंक्शन, जिसे गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा के रूप में भी जाना जाता है, है: $$U=-{\frac {GMm}{r}},$$ नकारात्मक चिह्न उस परंपरा का पालन करता है जिसके अनुसार संभावित ऊर्जा की हानि से कार्य प्राप्त होता है।

=== व्युत्पत्ति ===

R दूरी से अलग किए गए M और m द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया जाता है $$\mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,$$ जहाँ $\mathbf {\hat {r}}$ लंबाई 1 का एक वेक्टर है जो M से m की ओर इंगित करता है और G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।

मान लीजिए कि द्रव्यमान m वेग v से गति करता है, तो इस द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण का कार्य जैसे ही यह स्थिति r(t1) से r(t2) तक गति करता है, यह इस प्रकार दिया जाता है

$$W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.$$ द्रव्यमान m की स्थिति और वेग इस प्रकार दिया जाता है $$\mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t},$$ जहाँ e_r और e_t M से m तक के सदिश के सापेक्ष निर्देशित रेडियल और स्पर्शीय इकाई सदिश हैं। गुरुत्वाकर्षण के कार्य के सूत्र को सरल बनाने के लिए इसका उपयोग करें, $$W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot ({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t})\,dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.$$ यह गणना इस तथ्य का उपयोग करती है कि $${\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.$$

दो निकायों के बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक बलों के लिए संभावित ऊर्जा

एक आवेश Q द्वारा r दूरी से अलग किए गए दूसरे आवेश q पर लगाया गया इलेक्ट्रोस्टैटिक बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है $$\mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,$$ जहाँ $\mathbf {\hat {r}}$ Q से q की ओर इंगित करने वाली लंबाई 1 का एक सदिश है और ε₀ वैक्यूम परमिटिटिविटी है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक बल क्षेत्र में A से B तक q को ले जाने के लिए आवश्यक कार्य W संभावित फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है

$$U(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r}}.$$

संदर्भ स्तर

संभावित ऊर्जा किसी सिस्टम की स्थिति का एक फ़ंक्शन है, और इसे किसी विशेष स्थिति के लिए उसके सापेक्ष परिभाषित किया जाता है। यह संदर्भ स्थिति हमेशा एक वास्तविक स्थिति नहीं होती है; यह एक सीमा भी हो सकती है, जैसे कि सभी निकायों के बीच की दूरी अनंत तक जाती है, बशर्ते कि उस सीमा तक जाने में शामिल ऊर्जा परिमित हो, जैसे कि व्युत्क्रम-वर्ग नियम बलों के मामले में। किसी भी मनमाने संदर्भ स्थिति का उपयोग किया जा सकता है; इसलिए इसे सुविधा के आधार पर चुना जा सकता है। आमतौर पर किसी सिस्टम की संभावित ऊर्जा केवल उसके घटकों की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करती है, इसलिए संदर्भ स्थिति को सापेक्ष स्थितियों के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है।

गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा

साँचा:मुख्य लेख गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण बल से जुड़ी संभावित ऊर्जा है, क्योंकि पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध वस्तुओं को ऊपर उठाने के लिए काम करना पड़ता है। ऊँचे स्थानों के कारण संभावित ऊर्जा को गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा कहा जाता है, और इसका प्रमाण किसी ऊँचे जलाशय में या किसी बाँध के पीछे रखे पानी से मिलता है। यदि कोई वस्तु गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के अंदर एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर गिरती है, तो गुरुत्वाकर्षण बल वस्तु पर सकारात्मक कार्य करेगा, और गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा उसी मात्रा में कम हो जाएगी। [[फ़ाइल:सोलर सिस्टम.jpg|दायाँ|अंगूठा|गुरुत्वाकर्षण बल ग्रहों को सूर्य] के चारों ओर कक्षा में रखता है]] एक मेज़ के ऊपर रखी किताब पर विचार करें। जैसे ही किताब को फर्श से मेज़ तक उठाया जाता है, कुछ बाहरी बल गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध काम करता है। यदि पुस्तक वापस फर्श पर गिरती है, तो पुस्तक को प्राप्त होने वाली "गिरने वाली" ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान की जाती है। इस प्रकार, यदि पुस्तक मेज से गिरती है, तो यह संभावित ऊर्जा पुस्तक के द्रव्यमान को त्वरित करने के लिए जाती है और गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। जब पुस्तक फर्श से टकराती है, तो यह गतिज ऊर्जा प्रभाव द्वारा ऊष्मा, विरूपण और ध्वनि में परिवर्तित हो जाती है। किसी वस्तु की गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा को प्रभावित करने वाले कारक किसी संदर्भ बिंदु के सापेक्ष उसकी ऊँचाई, उसका द्रव्यमान और उस गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत हैं जिसमें वह है। इस प्रकार, एक मेज पर पड़ी एक पुस्तक में एक लंबी अलमारी के ऊपर रखी उसी पुस्तक की तुलना में कम गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा होती है और उसी मेज पर पड़ी एक भारी पुस्तक की तुलना में कम गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा होती है। चंद्रमा की सतह से एक निश्चित ऊँचाई पर स्थित एक वस्तु में पृथ्वी की सतह से समान ऊँचाई पर स्थित वस्तु की तुलना में कम गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा होती है क्योंकि चंद्रमा का गुरुत्वाकर्षण कमजोर होता है। शब्द के सामान्य अर्थ में "ऊँचाई" का उपयोग गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा गणनाओं के लिए नहीं किया जा सकता है जब गुरुत्वाकर्षण को स्थिर नहीं माना जाता है। निम्नलिखित अनुभाग अधिक विवरण प्रदान करते हैं।

स्थानीय सन्निकटन

गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत स्थान के साथ बदलती रहती है। हालाँकि, जब गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के स्रोत के केंद्र से दूरियों के संबंध में दूरी में परिवर्तन छोटा होता है, तो क्षेत्र की ताकत में यह बदलाव नगण्य होता है और हम मान सकते हैं कि किसी विशेष वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण बल स्थिर है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की सतह के पास, हम मानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण एक स्थिर g = 9.8 m/s² (मानक गुरुत्वाकर्षण) है। इस मामले में, गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा के लिए एक सरल अभिव्यक्ति कार्य के लिए W = Fd समीकरण और समीकरण का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती है $$W_{F}=-\Delta U_{F}.$$ एक ऊँची वस्तु द्वारा धारण की गई गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा की मात्रा उसे उठाने में गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर होती है। किया गया कार्य इसे ऊपर की ओर ले जाने के लिए आवश्यक बल को उस ऊर्ध्वाधर दूरी से गुणा करने के बराबर होता है जिस पर इसे ले जाया गया है (याद रखें W = Fd)। स्थिर वेग से चलते समय आवश्यक ऊपर की ओर बल किसी वस्तु के भार, mg के बराबर होता है, इसलिए इसे h की ऊँचाई तक उठाने में किया गया कार्य mgh का गुणनफल होता है। इस प्रकार, केवल द्रव्यमान, गुरुत्व, और ऊँचाई को ध्यान में रखते हुए, समीकरण है: $$U=mgh$$ जहाँ U वस्तु की पृथ्वी की सतह पर होने के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा है, m वस्तु का द्रव्यमान है, g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, और h वस्तु की ऊँचाई है। इसलिए, संभावित अंतर है $$\Delta U=mg\Delta h.$$

सामान्य सूत्र

हालाँकि, दूरी में बड़े बदलावों पर, यह अनुमान कि g स्थिर है, अब मान्य नहीं है, और हमें गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा निर्धारित करने के लिए कैलकुलस और कार्य की सामान्य गणितीय परिभाषा का उपयोग करना होगा। संभावित ऊर्जा की गणना के लिए, हम गुरुत्वाकर्षण बल को एकीकृत कर सकते हैं, जिसका परिमाण न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया गया है, दो निकायों के बीच की दूरी r के संबंध में। उस परिभाषा का उपयोग करते हुए, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक G का उपयोग करके m₁ और M₂ द्रव्यमानों की एक प्रणाली की गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा r दूरी पर है। $$U=-G{\frac {m_{1}M_{2}}{r}}+K,$$ जहाँ K एक मनमाना स्थिरांक है जो डेटा के चयन पर निर्भर करता है जिससे क्षमता को मापा जाता है। यह परंपरा चुनना कि K = 0 (यानी अनंत पर एक बिंदु के संबंध में) गणना को सरल बनाता है, यद्यपि U को ऋणात्मक बनाने की कीमत पर; यह भौतिक रूप से उचित क्यों है, इसके लिए नीचे देखें।

U के लिए यह सूत्र दिए जाने पर, n निकायों की एक प्रणाली की कुल संभावित ऊर्जा, दो निकायों के सभी ${\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ जोड़ों के लिए, उन दो निकायों की प्रणाली की संभावित ऊर्जा को जोड़कर पाई जाती है।

thumb|गुरुत्वाकर्षण संभावित योग $U=-m\left(G{\frac {M_{1}}{r_{1}}}+G{\frac {M_{2}}{r_{2}}}\right)$ निकायों की प्रणाली को उन छोटे कणों के संयुक्त समूह के रूप में मानते हुए जिनसे निकाय बने होते हैं, और कण स्तर पर पिछले को लागू करने पर हमें नकारात्मक गुरुत्वाकर्षण बंधन ऊर्जा मिलती है। यह संभावित ऊर्जा निकायों की प्रणाली की कुल संभावित ऊर्जा की तुलना में अधिक दृढ़ता से नकारात्मक है क्योंकि इसमें प्रत्येक निकाय की नकारात्मक गुरुत्वाकर्षण बंधन ऊर्जा भी शामिल है। निकायों की प्रणाली की संभावित ऊर्जा, निकायों को एक दूसरे से अनंत तक अलग करने के लिए आवश्यक ऊर्जा का ऋणात्मक है, जबकि गुरुत्वाकर्षण बंधन ऊर्जा, सभी कणों को एक दूसरे से अनंत तक अलग करने के लिए आवश्यक ऊर्जा है। $$U=-m\left(G{\frac {M_{1}}{r_{1}}}+G{\frac {M_{2}}{r_{2}}}\right)$$ इसलिए, $$U=-m\sum G{\frac {M}{r}},$$