ज्यामिति का इतिहास

साँचा:HistOfScience ज्यामिति (यूनानी भाषा γεωμετρία ; जियो = पृथ्वी, मेट्रिया = माप) शब्द, त्रिविम संबंधों के बारे में बताने वाले ज्ञान के क्षेत्र के रूप में उभरा था। ज्यामिति पूर्व-आधुनिक गणित के दो क्षेत्रों में से एक था; और दूसरा क्षेत्र संख्याओं के अध्ययन से संबंधित था।

परंपरागत ज्यामिति कम्पास और स्ट्रेटएज संरचनाओं पर केंद्रित थी। ज्यामिति में क्रांतिकारी बदलाव यूक्लिड द्वारा किया गया जिन्होंने गणितीय रिगर (rigor) और स्वयंसिद्ध विधि (axiomatic method) को पेश किया था जो आज भी प्रयोग में है। उनकी पुस्तक द एलिमेंट्स को बड़े पैमाने पर अभी तक की सबसे प्रभावशाली पाठ्य-पुस्तक माना जाता है और 20वीं सदी के मध्य तक पश्चिम में सभी शिक्षित लोगों को इसकी जानकारी रहती थी।^[1]

आधुनिक समय में ज्यामितीय अवधारणाओं को काल्पनिकता और जटिलता के एक उच्च स्तर तक सामान्यीकृत कर दिया गया है और इनमें कैलकुलस एवं काल्पनिक बीजगणित की विधियों का इस हद तक इस्तेमाल किया गया है कि इस क्षेत्र की कई आधुनिक शाखाएं प्रारंभिक ज्यामिति की संततियों के रूप में बमुश्किल ही पहचानी जाती हैं। देखें बीजगणितीय ज्यामिति और गणित के क्षेत्र.

प्रारंभिक ज्यामिति

ज्यामिति की सबसे पहले दर्ज की गयी शुरुआत का पता आदिकालीन लोगों - जिन्होंने प्राचीन सिंधु घाटी (देखें हड़प्पाई गणित) में नोकरहित त्रिकोणों की खोज की थी और 3000 ईसा पूर्व के आस-पास प्राचीन बेबिलोनिया (देखें बेबिलोनियाई गणित) - के समय तक जाकर लगाया जा सकता है। प्रारंभिक ज्यामिति लंबाइयों, कोणों, क्षेत्रफलों और आयतनों से संबंधित आनुभविक रूप से आविष्कृत सिद्धांतों का एक संग्रह था जिन्हें सर्वेक्षण, निर्माण, खगोल विद्या और विभिन्न शिल्पों में कुछ व्यावहारिक जरूरतों को पूरा करने के लिए विकसित किया गया था। इनमें से कुछ सिद्धांत आश्चर्यजनक रूप से जटिल थे और एक आधुनिक गणितज्ञ के लिए कैलकुलस के प्रयोग के बिना उनमें से कुछ सिद्धांतो का उपयोग करना मुश्किल साबित हो सकता है। उदाहरण के लिए, मिस्रवासी और बेबिलोनियाई दोनों पाइथागोरस प्रमेय के संस्करणों से पाइथागोरस से लगभग 1500 साल पहले से ही परिचित थे; मिस्त्र वासियों के पास एक वर्गाकार पिरामिड के फ्रस्टम के आयतन के लिए एक सही फॉर्मूला मौजूद था; बेबिलोनियाई लोगों के पास एक त्रिकोणमिति की तालिका मौजूद थी।

मिस्र (ईजिप्त) की ज्यामिति

प्राचीन मिस्र के लोग यह जानते थे कि वे एक वृत्त के क्षेत्रफल का अनुमान निम्नलिखित प्रकार से लगा सकते हैं:^[2]

वृत्त का क्षेत्रफल ≈ [(व्यास) x 8/9]².^[2]

आमेस पेपिरस की समस्या 50 में एक ऐसे नियम के अनुसार कि क्षेत्रफल वृत्त के व्यास के 8/9 के वर्ग के बराबर होता है, एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना के लिए इन विधियों का उपयोग किया जाता है। इसमें माना जाता है कि π का मान 0.63 प्रतिशत से कुछ अधिक की त्रुटि के साथ 4×(8/9)² (या 3.160493...) है। यह मान बेबिलोनियाई गणना से कुछ कम सही था (25/8 = 3.125, 0.53 प्रतिशत के अंदर) लेकिन अन्यथा यह आर्कमिडीज के 211875/67441 = 3.14163 के लगभग सही अनुमान से आगे नहीं निकल पाया था जिसमें 10,000 में सिर्फ 1 से अधिक की त्रुटि थी)।

दिलचस्प बात यह है कि आमेस पाई (pi) के लिए आधुनिक 22/7 के एक लगभग सही अनुमान से परिचित थे और उन्होंने एक हेकट (hekat) को विभाजित करने के लिए इसका उपयोग किया था, हेकट x 22/x x 7/22 = हेकट; हालांकि आमेस एक सिलेंडर में पाए जाने वाले अपने हेकट आयतन की गणना के लिए पाई (pi) के परंपरागत मान 256/81 का उपयोग करना जारी रखा।

समस्या 48 में किनारे की 9 इकाइयों के साथ एक वर्ग का उपयोग करना शामिल था। इस वर्ग को एक 3x3 के ग्रिड में काट दिया गया था। कोने के वर्गों के विकर्ण को 63 इकाइयों के एक क्षेत्रफल के साथ एक अनियमित अष्टकोण बनाने के लिए इस्तेमाल किया गया था। इसने π के लिए एक दूसरा मान 3.111... दिया।

दोनों समस्याएं एक साथ पाई (Pi) के लिए 3.11 और 3.16 के बीच के मानों के एक विस्तार को निर्देशित करती हैं।

मास्को गणितीय पेपिरस में समस्या 14 एक पिरामिड के फ्रस्टम का आयतन निकालने के लिए एकमात्र प्राचीन उदाहरण देती है, जिसका सही फॉर्मूला इस प्रकार है:

V={\frac {1}{3}}h(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}).

बेबीलोन की ज्यामिति

बेबीलोन के लोग संभवतः क्षेत्रफलों और आयतनों की माप के लिए सामान्य नियमों को जानते थे। उन्होंने एक वृत्त की परिधि की माप को व्यास के तीन गुना के रूप में और क्षेत्रफल को परिधि के वर्ग के बारहवें हिस्से के रूप में मापा था जो उस स्थिति में सही होता जब π का मान 3 माना जाता. एक सिलेंडर के आयतन को आधार और उंचाई के एक प्रोडक्ट के रूप में लिया गया था, हालांकि एक शंकु के फ्रस्टम (छित्रक) का आयतन या एक पिरामिड के वर्ग को गलत तरीके से उंचाई और आधारों के जोड़ के आधे के प्रोडक्ट के रूप में लिया गया था। पाइथागोरस प्रमेय के बारे में बेबीलोन के लोगों को भी जानकारी थी। इसके अलावा हाल ही की एक खोज में एक टेबलेट में π के मान को 3 और 1/8 के रूप में उपयोग किया गया था। बेबीलोन के लोग बेबिलोनियाई मील के लिए भी जाने जाते हैं जो आज के लगभग सात मील की दूरी के बराबर दूरी की एक माप थी। दूरियों के लिए इस माप को अंततः सूर्य की यात्रा को मापने के लिए टाइम-माइल में बदल दिया गया था और इसलिए यह समय का प्रतिनिधित्व करता है।^[3]

यूनानी ज्यामिति

पारंपरिक यूनानी ज्यामिति

प्राचीन यूनानी गणितज्ञों के लिए ज्यामिति उनके विज्ञानों के मुकुट का मोती था, जो पद्धति की एक ऐसी पूर्णता और सटीकता तक पहुंच गया था जिसे उनके ज्ञान की किसी भी अन्य शाखा ने हासिल नहीं किया था। उन्होंने ज्यामिति की श्रृंखला को कई नए प्रकार के आंकड़ों, मोड़ों, सतहों और ठोसों में विस्तारित किया; उन्होंने इसकी प्रणाली को ट्रायल-एंड-एरर से तार्किक कटौती में बदल दिया; उन्होंने यह स्वीकार किया कि ज्यामिति "अपरिवर्तनशील स्वरूपों" या अमूर्तता का अध्ययन करती है जिसके लिए भौतिक वस्तुएं केवल अनुमान हैं; और उन्होंने "स्वयंसिद्ध विधि" के विचार को विकसित किया जो आज भी उपयोग में है।

थेल्स और पाइथागोरस

पाइथागोरस प्रमेय: a2 + b2 = c2

मिलेटस (जो अब दक्षिण-पश्चिमी तुर्की में है) के थेल्स (635-543 ईसा पूर्व) पहले व्यक्ति थे जिन्हें गणित में घटाव (कटौती) के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है। ऐसे पाँच ज्यामितीय प्रस्ताव हैं जिसके लिए उन्होंने घटाव संबंधी प्रमाण दिए, हालांकि उनके प्रमाण बच नहीं पाए. आयोनिया और बाद में इटली, जहाँ उस समय यूनानी लोग बसे हुए थे, वहाँ के पाइथागोरस (582-496 ई.पू.) संभवतः थेल्स के एक छात्र थे और उन्होंने बेबीलोन एवं इजिप्त (मिस्र) की यात्रा की थी। वह प्रमेय जो उनके नाम से है संभवतः यह उनकी खोज नहीं रही होगी, लेकिन शायद वे इसके लिए घटाव संबंधी प्रमाण देने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने गणित, संगीत और दर्शन का अध्ययन करने के लिए अपने आस-पास छात्रों के एक समूह को एकत्र किया और एक साथ मिलकर उन्होंने उनमें से ज्यादातर चीजों की खोज की, जिन्हें आज हाई स्कूल के छात्र अपने ज्यामिति के पाठ्यक्रमों में पढ़ते हैं। इसके अलावा उन्होंने अतुलनीय लंबाइयों और अतार्किक संख्याओं की गहन खोज की। (इसका कोई प्रमाण नहीं है कि थेल्स ने कोई निगमनात्मक (डिडक्टिव) प्रमाण प्रस्तुत किये थे और वास्तव में निगमनात्मक गणितीय साक्ष्य पार्मेमाइड्स के बाद तक दिखाई नहीं दिए थे। सबसे बड़ी बात है कि थेल्स के बारे में हम कुल मिलाकर यही कह सकते हैं कि उन्होंने यूनानियों के सामने विभिन्न ज्यामितीय प्रमेयों की शुरुआत की। यह विचार कि गणित अपनी शुरुआत के समय से ही निगमनात्मक (डिडक्टिव) था, यह गलत है। थेल्स के समय गणित विवेचनात्मक था। इसका मतलब यह है कि थेल्स ने अनुभवजन्य और प्रत्यक्ष प्रमाण "प्रस्तुत" किया होगा, लेकिन निगमनात्मक प्रमाण नहीं)।

प्लेटो

दार्शनिक प्लेटो (427-347 ई.पू.) यूनानियों के लिए सबसे सम्मानित हस्ती थे जिन्होंने अपने सुप्रसिद्ध स्कूल के प्रवेश द्वार के ऊपर लिखा था, "यहाँ आकर कोई भी ज्यामिति से अनभिज्ञ नहीं रहेगा." हालांकि वे स्वयं एक गणितज्ञ नहीं थे लेकिन गणित के बारे में उनके विचारों का काफी प्रभाव था। इसलिए गणितज्ञों ने उनकी इस धारणा को स्वीकार किया कि ज्यामिति को कम्पास और स्ट्रेटएज के अतिरिक्त किसी भी उपकरण का इस्तेमाल नहीं करना चाहिए - मापक उपकरणों जैसे कि एक चिह्नित रूलर या एक कोणमापक का कभी नहीं, क्योंकि ये कर्मकारों के उपकरण होते हैं, किसी विद्वान के लायक नहीं। यह उक्ति संभावित कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माणों और तीन परंपरागत निर्माण संबंधी समस्याओं के गहन अध्ययन का कारण बनी: किसी कोण को तीन भागों में बांटने, किसी दिए गए घन के आयतन का दोगुना घन का निर्माण करने और किसी दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर एक वर्ग का निर्माण करने में इन उपकरणों का उपयोग कैसे करें। इन निर्माणों की असंभवता के प्रमाणों को अंततः 19वीं सदी में हासिल कर लिया गया जिससे वास्तविक संख्या प्रणाली की गहरी संरचना के संदर्भ में महत्वपूर्ण सिद्धांतों का विकास हुआ। प्लेटो के सबसे बड़े शिष्य अरस्तू (384-322 ई.पू.) ने उन निगमनात्मक प्रमाणों में उपयोग किये गए तर्क के तरीकों पर एक ग्रंथ लिखा था (देखें लॉजिक) जिनमें 19वीं सदी तक काफी सुधार नहीं किया गया था।

हेलेनिस्टिक ज्यामिति

यूक्लिड

ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी के प्राकृतिक इतिहास संग्रहालय में यूक्लिड की प्रतिमा.

ज्यामिति पढ़ाती हुई महिला.यूक्लिड के तत्वों के एक मध्ययुगीन अनुवाद की शुरुआत में चित्रण, (सी. 1310)

यूक्लिड (सी. 325-265 ई.पू.), जिनका संबंध एलेग्जेंड्रिया से था, संभवतः प्लेटो के छात्रों में से किसी एक के छात्र थे, उन्होंने द एलिमेंट्स ऑफ ज्योमेट्री शीर्षक से 13 पुस्तकों (अध्यायों) में एक ग्रंथ लिखा था, जिसमें उन्होंने ज्यामिति को एक आदर्श स्वयंसिद्ध स्वरूप में प्रस्तुत किया था, जिसे यूक्लिडियन ज्यामिति के रूप में जाना गया। यह ग्रंथ उस समय के हेलेनिस्टिक गणितज्ञों को ज्यामिति के बारे में ज्ञात समस्त जानकारियों का एक संग्रह नहीं है; यूक्लिड ने स्वयं ज्यामिति पर आठ और अधिक उन्नत पुस्तकों की रचना की थी। हम दूसरे संदर्भों से यह जानते हैं कि यूक्लिड की पुस्तक ज्यामिति की पहली प्रारंभिक पाठ्यपुस्तक नहीं थी बल्कि यह इतनी अधिक उत्कृष्ट थी कि दूसरों ने इसका उपयोग नहीं किया और अंततः इसे खो दिया। उन्हें इजिप्त (मिस्र) के राजा टोलेमी प्रथम द्वारा एलेग्जेंड्रिया विश्वविद्यालय में लाया गया था।

द एलिमेंट्स की शुरुआत शब्दों, मौलिक ज्यामितीय सिद्धांतों (जिन्हें एग्जियोम्स या पोसुलेट्स कहा गया) और सामान्य मात्रात्मक सिद्धांतों (जिन्हें कॉमन नोशंस कहा गया) की परिभाषाओं के साथ हुई जिनसे बाकी सभी ज्यामिति की उत्पत्ति का तार्किक रूप से पता लगाया जा सकता है। उनकी पाँच सूक्तियां (एग्जिओम्स) निम्नलिखित हैं, जिनकी सविस्तार व्याख्या कुछ हद तक अंग्रेजी को पढ़ने में आसान बनाने के लिए की गयी है।

किन्हीं दो बिन्दुओं को एक सीधी रेखा से जोड़ा जा सकता हैं।
किसी भी सीमित सीधी रेखा को एक सीधी रेखा में आगे बढ़ाया जा सकता है।
किसी भी केन्द्र और किसी भी त्रिज्या से एक वृत्त बनाया जा सकता है।
सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
अगर एक समतल में दो सीधी रेखाओं को एक अन्य सीधी रेखा काटती है (जिसे ट्रांसवर्सल (अनुप्रस्थ) कहते हैं) और दो रेखाओं के बीच के आंतरिक कोण एवं अनुप्रस्थ के एक ओर लेटी अनुप्रस्थ रेखा का जोड़ दो समकोणों से कम होता है तब अनुप्रस्थ के उस ओर विस्तारित की गयी दो रेखाएं एक दूसरे को काटेंगी

(जिसे समानांतर अभिधारणा भी कहते हैं)।

आर्किमिडीज

साइराक्यूज, सिसिली, जब यह एक ग्रीक शहर-राज्य था, यहाँ के निवासी आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व) को अक्सर यूनानी गणितज्ञों में सबसे महान माना जाता है और यहाँ तक कि कभी-कभी उन्हें अभी तक के तीन सबसे महान गणितज्ञों में से एक (आइजैक न्यूटन और कार्ल फ्रेडरिक गॉस के साथ) कहा जाता है। अगर वे एक गणितज्ञ नहीं होते, फिर भी उन्हें एक महान भौतिक विज्ञानी, इंजीनियर और आविष्कारक के रूप में याद किया जाता. अपने गणित में उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समन्वय प्रणालियों के काफी समान विधियों और इंटीग्रल कैलकुलस की प्रतिबंधक प्रक्रिया को विकसित किया था। इन क्षेत्रों की रचना में केवल एक ही तत्त्व की कमी, एक प्रभावी बीजगणितीय संकेत की थी, जिसमें उनकी अवधारणाओं को व्यक्त किया जा सकता था।

आर्किमिडीज के बाद

अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों द्वारा ज्यामिति परमात्मा से जुड़ी मनी जाती थी। 13वीं सदी की इस पांडुलिपि में कंपास, भगवान के निर्माण कार्य का एक प्रतीक है।

आर्किमिडीज के बाद हेलेनिस्टिक गणित में गिरावट आनी शुरू हो गयी। हालांकि कुछ छोटी हस्तियों का आना अभी बाकी था लेकिन ज्यामिति का स्वर्ण युग समाप्त हो गया था। कमेंट्री ऑन द फर्स्ट बुक ऑफ यूक्लिड के लेखक (प्रोक्लस (410-485) हेलेनिस्टिक ज्यामिति की अंतिम महत्वपूर्ण हस्तियों में से एक थे। वे एक निपुण ज्यामितिकार थे लेकिन इससे भी अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि वे अपने से पहले किये गए कार्यों के बेहतरीन टीकाकार थे। उन कार्यों में से ज्यादातर आधुनिक समय तक अस्तित्व में नहीं बचे हैं और उनके बारे में जानकारी हमें इनकी टिप्पणी के माध्यम से मिलती है। ग्रीक शहर-राज्यों के उत्तराधिकारी और इन पर अधिपत्य कायम करने वाले रोमन गणराज्य और साम्राज्य ने उत्कृष्ट इंजीनियरों को तैयार किया लेकिन इनमें से कोई भी उल्लेखनीय गणितज्ञ नहीं थे।

एलेग्जेंड्रिया के विशाल पुस्तकालय को बाद में जला दिया गया था। इतिहासकारों के बीच एक आम सहमति बढ़ रही है कि एलेक्जेंड्रिया के पुस्तकालय को संभवतः कई विनाशकारी घटनाओं का सामना करना पड़ा था, लेकिन यह कि चौथी सदी में एलेक्जेंड्रिया के पगान (मूर्तिपूजक) मंदिरों को नष्ट किया जाना शायद सबसे विनाशकारी और अंतिम घटना थी। उस विनाश के प्रमाण सबसे अधिक निश्चित और सुरक्षित हैं। कैसर का आक्रमण भी बंदरगाह से सटे एक गोदाम में मौजूद तकरीबन 40,000-70,000 स्क्रॉलों के नष्ट होने का कारण बना था (जैसा कि ल्युसियानो कैनाफोरा का तर्क है, ये निर्यात के इरादे से पुस्तकालय द्वारा तैयार की गयी संभावित प्रतियां थीं) लेकिन यह संभव नहीं है कि उन्होंने पुस्तकालय या संग्रहालय को प्रभावित किया था, यह देखते हुए कि दोनों के बाद में अस्तित्व में होने के पर्याप्त सबूत मौजूद हैं।

गृह युद्ध, रख-रखाव में घटता निवेश और नए स्क्रॉलों का अधिग्रहण और गैर-धार्मिक गतिविधियों में आम तौर पर कम होती दिलचस्पी ने संभवतः पुस्तकालय में, विशेष तौर पर चौथी सदी में उपलब्ध सामग्री के ढांचे में गिरावट में योगदान दिया था। सिरेपियम को निश्चित रूप से थियोफिलस द्वारा वर्ष 391 में नष्ट कर दिया गया था और संग्रहालय एवं पुस्तकालय भी संभवतः उसी अभियान का शिकार बन गया था।

भारतीय ज्यामिति

वैदिक काल

देवनागरी में ऋग्वेद पांडुलिपि.

शतपथ ब्राह्मण (9वीं शताब्दी ईसा पूर्व) में सुल्ब सूत्र की तरह धार्मिक ज्यामितीय निर्माण के लिए नियमों को शामिल किया गया है।^[4]

सुल्ब सूत्र (वैदिक संस्कृत में शाब्दिक रूप से, "स्वरों की सूक्तियां - एफोरिज्म्स ऑफ द कॉर्ड") (सी. 700-400 ईसा पूर्व) में यज्ञाग्नि की वेदियों के निर्माण के नियमों की सूची दी गयी है।^[5] सुल्ब सूत्र में शामिल ज्यादातर गणितीय समस्याएं "एक एकल धार्मिक आवश्यकता" से निकली हैं^[6] जो विभिन्न आकार की लेकिन एक सामान स्थान लेने वाली अग्नि की वेदियों के निर्माण से संबंधित हैं। वेदियों को पकी हुई ईंट की पाँच परतों में बनाए जाने की आवश्यकता थी, जिसमें आगे यह शर्त थी कि प्रत्येक परत 200 ईंटों की हो और किसी भी दो सटी हुई परतों में ईंटों की समनुरूप व्यवस्था नहीं की गयी हो। ^[6]

(Hayashi 2005, p. 363) के अनुसार, सुल्ब सूत्र में "दुनिया में पाइथागोरस के प्रमेय की सबसे प्रारंभिक प्रचलित मौखिक व्याख्या शामिल है, हालांकि इसके बारे में प्राचीन बेबीलोन वासियों को पहले से ही जानकारी थी।"

किसी अंडाकार (आयताकार) आकृति का कोणीय (विकर्ण) सूत्र (लुआ त्रुटि मॉड्यूल:Lang में पंक्ति 1665 पर: attempt to index field 'engvar_sel_t' (a nil value)।) उन दोनों को उत्पन्न करता है जो किनारे (पार्श्वमनी) (pārśvamāni) वाले और क्षैतिज (लुआ त्रुटि मॉड्यूल:Lang में पंक्ति 1665 पर: attempt to index field 'engvar_sel_t' (a nil value)।) <सूत्र> अलग-अलग उत्पन्न करते हैं।"^[7]

चूंकि कथन एक सूत्र (sūtra) है, यह आवश्यक रूप से संपीड़ित है और सूत्रों (रस्सी) द्वारा जो प्राप्त होता है उसकी व्याख्या नहीं की गयी है, लेकिन संदर्भ स्पष्ट रूप से उनकी लंबाइयों पर निर्मित वर्ग क्षेत्र को बताता है और इसे संभवतः एक शिक्षक द्वारा छात्र को समझाया गया होगा। ^[7]

इनमें पाइथागोरस के ट्रिपल्स^[8] की सूचियां शामिल हैं जो डायोफेंटाइन समीकरणों के विशेष मामले हैं।^[9] इनमें वृत्त को वर्ग में बदलने और "वर्ग को वृत्त में बदलने" के बारे में कथन (जिनके लगभग होने के बारे में हम परोक्ष रूप से जानते हैं) भी मौजूद हैं।^[10]

बौधायन (सी. 8वीं सदी ईसा पूर्व) ने सबसे प्रसिद्ध सुल्ब सूत्र, बौधायन सुल्ब सूत्र की रचना की थी जिसमें सरल पाइथागोरस संबंधी ट्रिपल्स के उदाहरण जैसे कि: $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$ , $(7,24,25)$ और $(12,35,37)$ ^[11] शामिल हैं, इसके साथ-साथ एक वर्ग के किनारों के लिए पाइथागोरस संबंधी प्रमेय का एक कथन भी है: "वह डोरी जो एक वर्ग के विकर्ण के साथ-साथ खींची जाती है वह वास्तविक वर्ग के आकार का दोगुना क्षेत्रफल देती है।"^[11] इसमें पाइथागोरस प्रमेय (आयत के किनारों के लिए) का सामान्य कथन भी शामिल है: "एक आयत के विकर्ण की लम्बाई के साथ-साथ खींची गयी डोरी वह क्षेत्रफल बनाती है जो ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज किनारे साथ मिलकर बनाते हैं।"^[11]

गणितज्ञ एस.जी. डानी के अनुसार सीए. 1850 ईसा पूर्व में लिखे गए बेबीलोनियाई क्यूनीफॉर्म टेबलेट प्लिम्पटन 322 में 1850 बीसीई (BCE)^[12] में कुछ बड़ी प्रविष्टियों के साथ (13500, 12709, 18541), जो एक आदिकालिक ट्रिपल^[13] है, पंद्रह पाइथागोरस ट्रिपल्स शामिल हैं जो विशेष रूप से यह संकेत देते हैं कि इस विषय पर 1850 बीसीई (BCE) में मेसोपोटामिया में एक परिष्कृत समझ कायम थी।"चूंकि ये टेबलेट सुल्ब सूत्र काल से कई सदियों पहले के हैं, कुछ ट्रिपल्स के प्रासंगिक स्वरूप को ध्यान में रखकर यह उम्मीद करना जायज है कि इसी तरह की समझ भारत में भी रही होगी.^[14] डानी इससे आगे कहते हैं:

"चूंकि सुल्वसूत्र का मुख्य उद्देश्य वेदियों की संरचना और उनमें शामिल ज्यामितीय सिद्धांतों का वर्णन करना था, पाइथागोरस के ट्रिपल्स का विषय, यहाँ तक कि अगर इसे अच्छी तरह समझ लिया जाता, शायद फिर भी इसे सुल्वसूत्र में नहीं बताया गया होता. सुल्वसूत्रों में ट्रिपल्स की मौजूदगी की तुलना उस गणित से की जा सकती है जिसे कोई भी वास्तुकला या अन्य संबंधित व्यावहारिक क्षेत्र पर लिखी एक परिचयात्मक पुस्तक में देख सकता है और इसका संबंध सीधे तौर पर उस समय उस विषय के संपूर्ण ज्ञान से नहीं होगा. क्योंकि दुर्भाग्य से कोई अन्य समकालीन स्रोत नहीं पाया गया है इसलिए इस समस्या का समाधान संतुष्टि पूर्ण ढंग से खोज पाना कभी भी संभव नहीं हो सकता है।^[14]

कुल मिलाकर तीन सुल्ब सूत्रों की रचना की गयी थी। मानव (एफएल. 750-650 ईसा पूर्व) द्वारा रचित शेष दो मानव सुल्ब सूत्र और अपस्तंब (सी. 600 ईसा पूर्व) द्वारा रचित अपस्तंब सुल्ब सूत्र में बौधायन सूत्र सुल्ब के समान परिणाम .

उत्तम काल (क्लासिकल पीरियड)

बखशाली पांडुलिपि में कुछ गिनी-चुनी ज्यामितिक समस्याएं (अनियमित ठोस पदार्थों की मात्रा से संबंधित समस्याओं सहित) मौजूद हैं। बखशाली पांडुलिपि भी "शून्य के लिए एक बिंदु के साथ एक दशमलव स्थान की मूल्य प्रणाली का प्रयोग करती है।"^[15] आर्यभट्ट की आर्यभटीय (499 सीई) में भी क्षेत्रफलों और मात्राओं की गणना शामिल है।

ब्रह्मगुप्त ने 628 सीई (CE)। में अपनी खगोलीय पुस्तकलुआ त्रुटि मॉड्यूल:Lang में पंक्ति 1665 पर: attempt to index field 'engvar_sel_t' (a nil value)। की रचना की थी जिसके अध्याय 12 में 66 संस्कृत के पद्य शामिल हैं जिन्हें दो खण्डों में बांटा गया था: "मौलिक ऑपरेशन" (घनमूल, भिन्न, परिमाण एवं अनुपात और विनिमय सहित) और "व्यावहारिक गणित" (मिश्रण, गणितीय श्रृंखलाएं, साधारण आंकड़े, ईंटों का ढ़ेर लगाना, लकड़ी काटना और अनाज इकट्ठा करना सहित)। ^[16] दूसरे खंड में उन्होंने एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण पर अपने प्रसिद्ध प्रमेय का उल्लेख किया था।^[16]

ब्रह्मगुप्त का प्रमेय: यदि एक चक्रीय चतुर्भुज में ऐसे विकर्ण मौजूद होते हैं जो एक दूसरे के लंबवत हो, तो चतुर्भुज के किसी भी पक्ष के विकर्णों को आपस में काटने वाले बिंदु से खींची गयी लम्ब रेखा विपरीत पक्षों को हमेशा दो भागों में बांटती है।

अध्याय 12 में भी चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र (हेरोन के सूत्र का एक सामान्यीकरण) के साथ-साथ तर्कसंगत (रेशनल) त्रिकोणों (यानी तर्कसंगत (रेशनल) पक्षों और तर्कसंगत (रेशनल) क्षेत्रफलों वाले त्रिकोणों) के एक संपूर्ण विवरण को शामिल किया गया है।

ब्रह्मगुप्त का सूत्र: क्रमशः ए, बी, सी और डी लंबाइयों के पक्षों वाले एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल ए इस प्रकार दिया गया है

A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

जहाँ अर्द्धपरिमाप, एस का मान इस प्रकार है: $s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

तर्कसंगत त्रिकोणों पर ब्रह्मगुप्त का प्रमेय: $a,b,c$ तर्कसंगत पक्षों वाला एक त्रिकोण और तर्कसंगत क्षेत्रफल निम्नलिखित स्वरूप का होता है:

a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)

कुछ तर्कसंगत संख्याओं $u,v,$ और $w$ के लिए। ^[17]

चीनी ज्यामिति

179 ई. में पहली बार संकलित किये गए द नाइन चैप्टर्स ऑन द मैथेमेटिकल आर्ट (गणितीय कला के नौ अध्याय), लियू हुई द्वारा तीसरी सदी में टिप्पणी के साथ.

चीन में पहली निर्णायक ज्यामितीय रचना (या कम से कम सबसे पुरानी मौजूद रचना) प्रारंभिक उपयोगितावादी दार्शनिक मोजी (470 ई.पू.-390 ई.पू.) के मोहिस्ट सिद्धांत, मो जिंग के रूप में थी। इसे उनकी मृत्यु के वर्षों बाद उनके परवर्ती अनुयायियों द्वारा 330 ई.पू. के आस-पास संकलित किया गया था।^[18] हालांकि मो जिंग चीन में ज्यामिति पर लिखी गयी सबसे पुरानी मौजूदा पुस्तक है, इस बात की भी संभावना है कि इससे पुरानी लिखित सामग्री अस्तित्व में है। हालांकि 'किन (Qin)' राजवंश के शासक किन (Qin) शि हुआंग (आर. 221 ई.पू.-210 ई.पू.) की राजनीतिक युक्ति में पुस्तकों को जलाए जाने की कुख्यात घटना के कारण उनके समय के परिष्कृत होने से पहले बड़ी संख्या में लिखित साहित्य की रचना की गयी थी। इसके अलावा मो जिंग गणित में उन ज्यामितीय अवधारणाओं को प्रस्तुत करता है जो शायद इतना अधित उन्नत थे कि उनका कोई पिछला ज्यामितीय आधार नहीं था या गणितीय पृष्ठभूमि नहीं थी जिस पर कार्य किया जा सके।

मो जिंग में भौतिक विज्ञान से जुड़े कई क्षेत्रों के विभिन्न पहलुओं का वर्णन किया गया था और साथ ही यह गणित पर सूचनाओं का एक छोटा सा संग्रह भी प्रस्तुत करता था। इसने ज्यामितीय बिंदु की एक 'परमाण्विक' परिभाषा इस प्रकार से दी थी कि एक रेखा को कई भागों में अलग-अलग किया जा सकता है और जिस भाग का कोई शेष भाग नहीं होगा (यानी इसे और छोटे-छोटे भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है) और इस प्रकार उस रेखा का अंतिम सिरा एक बिंदु के रूप में होगा। ^[18] बहुत हद तक यूक्लिड की पहली और तीसरी परिभाषाओं और प्लेटो की 'एक रेखा की शुरुआत' की तरह मो जिंग ने कहा था कि "एक बिंदु प्रसव के दौरान सिर के दिखाई देने की तरह (लाइन के) अंतिम सिरे पर या इसकी शुरुआत में मौजूद होती है। (इसकी अदृश्यता की तरह) इसमें कोई भी समानता नहीं है।"^[19] डेमोक्रिटस के परमाणुविदों की तरह मो जिंग ने कहा था कि बिंदु एक सबसे छोटी इकाई है और इसे दो भागों में नहीं काटा जा सकता है, क्योंकि "शून्य" के दो तुकडे नहीं किये जा सकते है।^[19] खाली स्थान और घिरे हुए स्थान के सिद्धांतों के साथ-साथ समानांतर रेखाओं^[20] के लिए और लंबाइयों की तुलना के लिए परिभाषाएं देते हुए, इसमें कहा गया था कि समान लंबाई की दो रेखाएं हमेशा एक ही स्थान^[19] पर समाप्त होंगी.^[21] इसमें इस तथ्य का भी वर्णन किया गया था कि मोटाई की गुणवत्ता के बगैर समतलों को बढ़ाया नहीं जा सकता है क्योंकि वे आपस में एक दूसरे को स्पर्श नहीं कर सकते हैं।^[22] इस पुस्तक में मात्रा (आयतन) की परिभाषा के साथ-साथ परिधि, व्यास और त्रिज्या की परिभाषाएं दी गयी थीं।^[23]

दी सी आइलैंड गणितीय मैनुअल, लियू हुई, तीसरी सदी.

चीन में हान राजवंश (202 ई.पू.-220 ई.) की अवधि में गणित का एक नया उत्कर्ष देखा गया। ज्यामितीय प्रगति को प्रस्तुत करने वाले सबसे पुराने चीनी गणितीय ग्रंथों में से एक पश्चिमी हान युग के दौरान 186 ई.पू. का शुआन शू शू (Suàn shù shū) था। गणितज्ञ, आविष्कारक और खगोल विज्ञानी झांग हेंग (78-139 ई.) ने गणितीय समस्याओं को सुलझाने के लिए ज्यामितीय सूत्रों का इस्तेमाल किया था। हालांकि मोटे तौर पर पाई (π) के अनुमान झाऊ ली (ईसा पूर्व दूसरी सदी में संकलित)^[24] में दिए गए थे, वह झांग हेंग ही थे जिन्होंने पाई के लिए एक कहीं अधिक सटीक सूत्र तैयार करने में सबसे पहले एक संयुक्त प्रयास किया था। बदले में इसे झू चोंगझी (429-500 ई.) जैसे बाद के चीनियों द्वारा कहीं अधिक सटीक बनाया गया होगा। झांग हेंग ने पाई (pi) का लगभग समीप का अनुमान 730/232 (या लगभग 3.1466) के रूप में लगाया था, हालांकि उन्होंने एक गोले का आयतन निकालने के लिए इसकी बजाय 10 के वर्गमूल (या लगभग 3.162) का उपयोग कर पाई के एक अन्य सूत्र का प्रयोग किया था। झू चोंगझी का सर्वोत्तम अनुमान 3.1415926 और 3.1415927 के बीच का था जिसमें ³⁵⁵/₁₁₃ (密率, मिलु (Milü), विस्तृत अनुमान) और ²²/₇ (约率, युलू (Yuelü), मोटे तौर पर अनुमान) एक अन्य उल्लेखनीय अनुमान था।^[25] बाद की रचनाओं की तुलना में फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांसिस्कस विएटा (1540-1603) द्वारा दिया गया पाई का सूत्र झू के अनुमानों के मध्य का था।

नाइन चैप्टर्स ऑन द मैथेमेटिकल आर्ट (गणितीय कला के नौ अध्याय)

नाइन चैप्टर्स ऑन द मैथेमेटिकल आर्ट (गणितीय कला के नौ अध्याय), जिसका शीर्षक पहली बार 179 ई. में एक कांस्य शिलालेख पर देखा गया था, इस पर काओ वेई साम्राज्य के तीसरी सदी के गणितज्ञ लियु हुई द्वारा संपादन और टिपण्णी की गयी थी। इस पुस्तक में की ऐसी समस्याएं शामिल की गयी थी जहाँ ज्यामिति का प्रयोग किया गया था, जैसे कि वर्गों और वृत्तों की सतह का क्षेत्रफल निकालना, विभिन्न त्रिविमीय आकृतियों में ठोस पदार्थों का आयतन निकालना और साथ ही पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग भी इसमें शामिल था। इस पुस्तक में पाइथागोरस प्रमेय^[26] के लिए सचित्र प्रमाण प्रस्तुत किये गए थे, साथ ही समकोण त्रिभुज के गुणों पर झाऊ के पूर्व ड्यूक और शांग गाओ के बीच एक लिखित संवाद और पाइथागोरस प्रमेय भी संलग्न था।^[27] संपादक लियु हुई ने एक 192 पक्षीय बहुभुज का उपयोग कर पाई को 3.141014 के रूप में सूचीबद्ध किया था और उसके बाद 3072 पक्षीय बहुभुज का उपयोग कर पाई की गणना 3.14159 के रूप में की थी। यह लियु हुई के समकालीन ईस्टर्न वू के गणितज्ञ और खगोल शास्त्री, वांग फैन की तुलना में कहीं अधिक सटीक था जिसमें ¹⁴²/₄₅ का उपयोग कर पाई को 3.1555 पर रखा गया था।^[28] लियू हुई ने गहराई, ऊँचाई, चौड़ाई और सतह के क्षेत्रफल की दूरी की मापों की गणना के लिए गणितीय सर्वेक्षण के बारे में भी लिखा था। ठोस ज्यामिति के संदर्भ में उन्होंने यह निष्कर्ष निकाला कि आयताकार आधार वाली एक खूंटी (वेज) और इसके दोनों ढालू पक्षों को एक पिरामिड और चार पक्षों वाली एक खूंटी के रूप में तोड़ा जा सकता है।^[29] उन्होंने यह भी पता लगाया कि समलंब आधार और दोनों ढालू पक्षों वाली एक खूंटी को एक पिरामिड द्वारा चार पक्षों वाली दो खूंटियों में अलग किया जा सकता है।^[29] इसके अलावा लियू हुई ने आयतन पर कैवेलियरी के सिद्धांत के साथ-साथ गाऊसी के एलिमिनेशन का भी वर्णन किया था। नौ अध्यायों (नाइन चैप्टर्स से, इसने निम्नलिखित ज्यामितीय सूत्रों को सूचीबद्ध किया था जिनकी जानकारी पूर्व हान राजवंश (202 बीसीई-9 सीई) के समय तक थी।

निम्न के लिए क्षेत्रफल^[30]

वर्ग
आयत
वृत्त
समद्विबाहु त्रिकोण
असमांतरभुज

विषमकोण
समलम्ब
दोगुना समलम्ब
एक वृत्त का खंड
वलय (दो वृत्तों के बीच एन्यलर स्पेस)

निम्न के लिए वॉल्यूम^[29]

दो वर्ग सतहों वाला समानांतर-पाइप
बिना वर्ग सतहों वाला समानांतर-पाइप
पिरामिड
वर्ग आधार के साथ पिरामिड का फ्रस्टम (छित्रक)
पिरामिड के फ्रस्टम (छित्रक) के साथ असमान किनारों के आयताकार आधार

घन
प्रिज्म
आयताकार आधार वाली एक खूंटी (वेज) और इसके दोनों ढालू पक्ष
समलम्ब आधार वाली एक खूंटी (वेज) और इसके दोनों ढालू पक्ष
चार पक्षों वाली एक खूंटी

दूसरे प्रकार की एक खूँटी का एक फ्रस्टम (इंजीनियरिंग में अनुप्रयोगों के लिए इस्तेमाल किया जाता है)
बेलन (सिलेंडर)
गोलाकार आधार के साथ शंकु
एक शंकु का फ्रस्टम
चक्र

बाद में भी कई हस्तियों का प्राकट्य हुआ जिन्होंने प्राचीन चीन की ज्यामितीय विरासत को जारी रखा; इनमे शामिल हैं, प्रसिद्ध खगोलविद और गणितज्ञ शेन कूओ (1031 - 1095 ई.), पास्कल के त्रिभुज की खोज करने वाले यांग हुई (1238 - 1298 ई.) और ज़ू गुआंक्वी (1562 - 1633 ई.), तथा अन्य कई लोग.

इस्लामी ज्यामिति

अल-जब्र वा-अल-मुक़बिलाह से एक पृष्ठ

समूचे मध्य पूर्व, उत्तरी अफ्रीका, स्पेन, पुर्तगाल और फारस के कुछ हिस्सों में स्थापित इस्लामी खिलाफत की शुरुआत 640 सीई (CE) के आसपास हुई थी। इस अवधि के दौरान इस्लामी गणितज्ञ ज्यामितीय होने की बजाय मुख्य रूप से बीजगणितीय थे, हालांकि ज्यामिति पर भी महत्वपूर्ण कार्य किये गए थे। यूरोप में छात्रवृत्ति में कमी आयी और अंततः पुरातनता की हेलेनिस्टिक रचनाएं उनके हाथ से निकल गयीं और केवल शिक्षा के इस्लामी केन्द्रों में ही बची रह गयीं।

हालांकि मुस्लिम गणितज्ञों को बीजगणित, संख्या सिद्धांत और संख्या प्रणालियों पर उनके कार्यों के लिए काफी ख्याति मिली है, उन्होंने ज्यामिति, त्रिकोणमिति और गणितीय खगोल विज्ञान के लिए भी काफी योगदान दिया है और वे बीजगणितीय ज्यामिति के विकास के लिए भी जिम्मेदार थे। हालांकि ज्यादातर मुस्लिम गणितज्ञों द्वारा ज्यामितीय परिमाणों को "बीजगणितीय वस्तुओं" के रूप में देखा गया था।

मोहम्मद इब्न मूसा अल-क्वारिज़मी के उत्तराधिकारी, जो फ़ारसी विद्वान, गणितज्ञ और खगोलविद थे, उन्होंने गणित में कलन विधि (एल्गोरिथ्म) का आविष्कार किया था जो कंप्यूटर साइंस (जन्म 780) का आधार है, जिसने अंकगणित से बीजगणित, बीजगणित से अंकगणित, दोनों से त्रिकोणमिति, बीज गणित से संख्याओं का इयूक्लिडियन सिद्धांत, बीजगणित से ज्यामिति और ज्यामिति से बीजगणित के क्रमागत अनुप्रयोग का कार्य किया है। इसी तरीके से बहुपदीय बीजगणित, संयोगात्मक विश्लेषण, संख्यात्मक विश्लेषण, समीकरणों का अंकीय समाधान, संख्याओं के नए प्राथमिक सिद्धांत और समीकरणों के ज्यामितीय ढांचे की रचना हुई थी।

अल महानी (जन्म 820) ने ज्यामितीय समस्याओं जैसे कि बीजगणित की समस्याओं के लिए तृतीय घात की द्विरावृत्ति को कम करने के विचार की कल्पना की थी। अल काराजी (जन्म (953) ने बीजगणित को ज्यामितीय गतिविधियों से पूरी तरह मुक्त कर दिया और उनकी जगह अंकगणितीय प्रकार की गतिविधियों को शामिल कर लिया जो आज बीजगणित के आधार में मौजूद है।

अल्ब्रेक्ट ड्यूरेर का एक उत्कीर्णन जिसमे माशाअल्ला को दिखाया गया है; डी साईनटिया मोटस और्बिस के शीर्षक पृष्ठ से (एनग्रेविंग के साथ लैटिन संस्करण, 1504).जैसा कि कई मध्ययुगीन चित्रों में देखा जाता है, यहाँ दर्शाया गया कम्पास धर्म तथा विज्ञान का एक प्रतीक है जहां भगवान को सृष्टि के रचयिता के रूप में संदर्भित किया जाता है।

थाबित परिवार और अन्य प्रारंभिक ज्यामितिकार

थाबित इब्न कुर्रा (जिन्हें लैटिन में थेबिट के रूप में जाना जाता है) जन्म (836) ने गणित के कई क्षेत्रों में योगदान दिया है जहाँ उन्होंने संख्या को (सकारात्मक) वास्तविक संख्याओं में विस्तार की अवधारणा, अभिन्न कलन (इंटीग्रल कैलकुलस), गोलीय त्रिकोणमिति के प्रमेयों, विश्लेषणात्मक ज्यामिति और गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति जैसे महत्वपूर्ण गणितीय खोजों के लिए मार्ग तैयार करने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। खगोल विज्ञान में थाबित टोलेमाइक प्रणाली के पहले सुधारकों में से एक थे और यांत्रिकी में वे स्टैटिक्स के एक संस्थापक थे। थाबित की रचनाओं का एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय पहलू अनुपातों की संरचना पर उनकी पुस्तक के रूप में था। इस पुस्तक में थाबित ज्यामितीय मात्राओं के अनुपातों के लिए प्रयोग किये गए अंकगणितीय ऑपरेशनों के बारे में बताते हैं। यूनानियों ने ज्यामितीय मात्राओं के साथ काम किया था लेकिन उन्होंने इनके बारे में उसे तरीके से नहीं सोचा था जैसा कि अंकगणित के सामान्य नियमों को लागू करने में किया जा सकता था। पहले ज्यामितीय और गैर-संख्यात्मक मानी जाने वाली मात्राओं पर अंकगणितीय ऑपरेशनों की शुरुआत कर थाबित ने एक ऐसी प्रवृत्ति शुरू की थी जिससे अंततः संख्या की अवधारणा का सामान्यीकरण संभव हुआ।

कुछ मामलों में, विशेष रूप से गति के संदर्भ में थाबित प्लेटो और अरस्तू के विचारों के आलोचक हैं। ऐसा प्रतीत होता है कि यहाँ उनके विचार उनके ज्यामितीय तर्कों में गति के संदर्भ में तर्कों के उपयोग की स्वीकृति पर आधारित हैं। ज्यामिति के लिए थाबित का एक अन्य महत्वपूर्ण योगदान उनके द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण है, जिसमें उन्होंने एक सामान्य प्रमाण के साथ विशेष समकोणों को आम तौर पर सभी त्रिकोणों में विस्तारित किया था।^[31]

इब्राहीम इब्न सिनान इब्न थाबित (जन्म 908), जिन्होंने आर्किमिडीज की तुलना में कहीं अधिक सामान्य इंटीग्रेशन की एक विधि पेश की थी और अल कूही (जन्म 940) इस्लामिक जगत में यूनानी उच्च-स्तरीय ज्यामिति के पुनरोद्धार और इसकी निरंतरता में अग्रणी चेहरे थे। इन गणितज्ञों और विशेष रूप से इब्न अल-हेथाम ने ऑप्टिक्स का अध्ययन किया और शंक्वाकार भागों से बने दर्पणों के ऑप्टिकल गुणों की जाँच की।

खगोल विज्ञान, टाइम-कीपिंग और भूगोल ने ज्यामितीय और त्रिकोणमितीय अनुसंधान के लिए अन्य प्रेरणाएं प्रदान की। उदाहरण के लिए इब्राहीम इब्न सिनान और उनके दादा थाबित इब्न कुर्रा दोनों ने धूप-घड़ियों के निर्माण में आवश्यक वक्रताओं का अध्ययन किया। अबू अल-वफा और अबू नस्र मंसूर दोनों ने खगोल विज्ञान में गोलीय ज्यामिति का प्रयोग किया।

ज्यामितीय वास्तुकला

हाल के खोजों से पता चला है कि ज्यामितीय कवासीक्रिस्टल पद्धतियों को सबसे पहले पाँच सदियों से भी अधिक समय पहले की मध्ययुगीन इस्लामी वास्तुकला में पाए जाने वाले गिरिह टाइलों में प्रयोग किया गया था। 2007 में हार्वर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफेसर पीटर लू और प्रिंसटन विश्वविद्यालय के प्रोफेसर पॉल स्टेनहार्ड्ट ने साइंस पत्रिका में इस सुझाव के साथ एक दस्तावेज प्रकाशित किया था कि गिरिह टाइलिंग में मौजूद विशेषताएं स्वतः-समान आंशिक क्वासीक्रिस्टलाइन टाइलिंग की निरंतरता में थी जैसे कि पेनरोज टाइलिंग, जिसका संबंध उनसे पाँच सदियों पहले से था।^[32]^[33]

आधुनिक ज्यामिति

17वीं सदी

जब यूरोप ने अपने अंध युग (डार्क एजेज) से निकलना शुरू किया, इस्लामी पुस्तकालयों में मौजूद ज्यामिति के हेलेनिस्टिक और इस्लामी ग्रंथों का अरबी से लैटिन में अनुवाद किया गया। यूक्लिड की एलिमेंट्स ऑफ ज्योमेट्री में मिले ज्यामिति के कठोर निगमनात्मक तरीकों का फिर से अध्ययन किया गया और इससे आगे यूक्लिड (इयूक्लिडियन ज्यामिति) एवं खय्याम (बीजगणितीय ज्यामिति) दोनों की शैलियों में ज्यामिति के विकास का क्रम जारी रहा जिसके परिणाम स्वरूप नए प्रमेयों और सिद्धांतों की एक बहुआयत हो गयी जिनमें से कई बहुत ही गहन और सहज थे।

रेने डेसकार्टेस द्वारा डिसकोर्स ऑन मैथड्स

17वीं सदी की शुरुआत में ज्यामिति में दो महत्वपूर्ण घटनाएं हुईं. पहली और सबसे महत्वपूर्ण घटना रेने डेस्क्रेट्स (1596-1650) और पियरे डी फर्मेट (1601-1665) द्वारा विश्लेषणात्मक ज्यामिति या समन्वयों और समीकरणों वाली ज्यामिति की रचना थी। यह कैलकुलस और भौतिकी के सटीक मात्रात्मक विज्ञान के विकास के लिए एक आवश्यक अग्रदूत साबित हुआ। इस अवधि की दूसरी ज्यामितीय प्रगति गिरार्ड डेसार्गेस (1591-1661) द्वारा प्रोजेक्टिव ज्यामिति के सिलसिलेवार अध्ययन के रूप में थी। प्रोजेक्टिव ज्यामिति माप के बगैर ज्यामिति का अध्ययन है यानी सिर्फ यह अध्ययन कि किस तरह बिंदुएं एक दूसरे से तालमेल बनाती हैं। इस क्षेत्र में हेलेनिस्टिक ज्यामितिकारों, उल्लेखनीय रूप से पैपस (सी. 340) द्वारा कुछ शुरूआती कार्य किये गए थे। महानतम फ्लावरिंग ऑफ द फील्ड का संबंध जीन विक्टर पोंसिलेट (1788-1867) के साथ था।

17वीं सदी के उत्तरार्द्ध में कैलकुलस को आइजैक न्यूटन (1642-1727) और गॉटफ्रेड विल्हेम वॉन लाइबनिज (1646-1716) द्वारा स्वतंत्र रूप से और लगभग एक साथ विकसित किया गया था। यह गणित के एक नए क्षेत्र की शुरुआत थी जिसे अब विश्लेषण (एनालिसिस) कहा जाता है। हालांकि यह स्वयं ज्यामिति की एक शाखा नहीं है, फिर भी ज्यामिति में इसका प्रयोग होता है और इसने समस्याओं के दो परिवारों का हल किया था जो काफी समय से लगभग अड़ियल बनी हुई थी: विषम वक्रों में स्पर्श रेखाओं का पता लगाना और उन वक्रों से घिरे क्षेत्रफलों का पता लगाना. कैलकुलस की विधि ने गणना के ज्यादातर सीधे मामलों में इन समस्याओं को कम कर दिया।

18वीं और 19वीं सदियां

गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति

यूक्लिड की चार अभिधारणाओं से उनकी पांचवीं अभिधारणा, "समानांतर अभिधारणा" को प्रमाणित करने की पुरानी समस्या को कभी भुलाया नहीं गया था। यूक्लिड के कुछ ही समय बाद प्रस्तुतियों के कई प्रयास किये गए लेकिन कुछ ऐसे सिद्धांतों को, जो तर्क में स्वीकृति के जरिये स्वयं पहली चार अभिधारणाओं से प्रमाणित नहीं हुए थे, बाद में भी दोषपूर्ण पाया गया। हालांकि उमर खय्याम भी समानांतर अवधारणा को साबित करने में असफल रहे थे, यूक्लिड के समानांतरों के सिद्धांतों की आलोचनाओं और गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति में संख्याओं के गुणों के उनके प्रमाण ने अंततः गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति के विकास में योगदान दिया था। सन 1700 में पहली चार अवधारणाओं को प्रमाणित करने और पांचवीं अवधारणा को प्रमाणित करने की कोशिश में सामने आने वाले कमियों के संदर्भ में एक बड़ी खोज की गयी। साचेरी, लाम्बर्ट और लेगेंद्रे तीनों ने इस समस्या पर 18वीं सदी में उत्कृष्ट कार्य किये, लेकिन लेकिन फिर भी सफलता उनसे दूर ही रही। 19वीं सदी की शुरुआत में गॉस, जोहान बोल्याई और लोबाचेव्स्की में से हर किसी ने स्वतंत्र रूप से एक अलग दृष्टिकोण लिया। इस संदेह के साथ शुरुआत करते हुए कि समानांतर अवधारणाओं को प्रमाणित करना असंभव था, उन्होंने एक आत्म-संगत (सेल्फ-कंसिस्टेंट) ज्यामिति के विकास पर काम किया जिसमें वह अवधारणा गलत थी। इसमें वे सफल रहे थे और इस प्रकार पहले गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की रचना हुई। 1854 में गॉस के एक छात्र, बर्नहार्ड रीमैन ने समस्त चिकनी सतहों की आतंरिक (आत्म-संगत) ज्यामिति के एक जबरदस्त अध्ययन में कैलकुलस की विधि का प्रयोग किया था और इस प्रकार एक अलग गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति विकसित हुई थी। रीमैन के कार्य बाद में आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत का आधार बन गए थे।

विलियम ब्लेक की "न्यूटन", वैज्ञानिक भौतिकवाद की 'एकल दृष्टि' के प्रति उनके विरोध का एक प्रदर्शन है; यहाँ, आइजैक न्यूटन 'डिवाइन जीयोमीटर' के रूप में दिखाया गया है (1795)

यह प्रमाणित करना बाकी रह गया था कि गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति एकदम उतनी ही आत्म-संगत थी जितना कि यूक्लिडियन ज्यामिति और इस कार्य को सबसे पहले बेल्ट्रामी द्वारा 1868 में पूरा किया गया था। इसी के साथ गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, यूक्लिडियन ज्यामिति के साथ एक समान गणितीय स्तर पर स्थापित हो गयी थी।

हालांकि अब यह मालूम हो गया था कि विभिन्न ज्यामितीय सिद्धांत गणितीय तरीके से संभव थे, यह सवाल बाकी ही रह गया कि "इनमें से कौन सा सिद्धांत हमारे भौतिक जगत के लिए सही है?" गणितीय कार्य से यह पता चल गया कि इस सवाल का जवाब भौतिकीय प्रयोगों के जरिये दिया जाना चाहिए ना कि गणितीय तर्क से, साथ ही यह कारण भी उजागर हुआ कि इस प्रयोग में अनंत (सितारों की दूरियां, ना कि पृथ्वी-आधारित) दूरियों को अनिवार्य रूप से क्यों शामिल किया जाना चाहिए। भौतिकी में सापेक्षता के सिद्धांत के विकास के साथ यह सवाल बहुत अधिक जटिल हो गया।

गणितीय कठोरता (रिगर) का परिचय

समानांतर अवधारणाओं से संबंधित सभी कार्यों से यह पता चला कि एक ज्यामितिकार के लिए अपने तार्किक आधार को भौतिक जगत के अपने अंतर्ज्ञान की समझ से अलग करना काफी मुश्किल था और इसके अलावा ऐसा करने के आलोचनात्मक महत्व का भी पता चला. सावधानीपूर्वक परीक्षण ने यूक्लिड की रीजनिंग में कुछ तार्किक खामियों और कुछ अनकहे ज्यामितिक सिद्धांतों का खुलासा किया था जिसके बारे में यूक्लिड कभी-कभी बताया करते थे। इस आलोचना ने कैलकुलस में आने वाली मुश्किलों और अनंत प्रक्रियाओं जैसे कि अभिसरण और निरंतरता के अर्थ के संदर्भ में विश्लेषण को समानांतर बना दिया। ज्यामिति में सूक्तियों (एग्जिओम्स) के एक नए सेट की स्पष्ट आवश्यकता थी जो पूरी हो सकती थी और जो हमारे द्वारा बनायी जाने वाली तस्वीरों या अंतरिक्ष के बारे में हमारे अंतर्ज्ञान पर किसी भी तरह से आधारित नहीं है। इस तरह की सूक्तियां 1894 में डेविड हिल्बर्ट द्वारा उनके शोध-निबंध ग्रंडलाजेन डर जियोमेट्री (फ़ाउंडेशंस ऑफ ज्योमेट्री) में दी गयी थीं। सूक्तियों के कुछ अन्य संपूर्ण सेट इससे कुछ वर्ष पहले दिए गए थे लेकिन ये अर्थव्यवस्था, लालित्य और यूक्लिड की सूक्तियों की समानता में मेल हिल्बर्ट की सूक्तियों से नहीं खाते थे।

एनालिसिस साइटस या टोपोलॉजी

18वीं सदी के मध्य में यह स्पष्ट हो गया कि गणितीय तर्क की कुछ ख़ास कड़ियां उस समय विकसित हुईं जब संख्या रेखा पर, दो आयामों में और तीन आयामों में इसी तरह के विचारों पर अध्ययन किया गया था। इस प्रकार एक मीट्रिक स्पेस की सामान्य अवधारणा बनी थी जिससे कि रीजनिंग कहीं अधिक व्यापकता में हो सके और इसके बाद विशेष मामलों में इनका प्रयोग किया जा सके। कैलकुलस के अध्ययन की यह विधि- और विश्लेषण संबंधी अवधारणाओं को एनालिसिस साइटस के रूप में और बाद में टोपोलॉजी के रूप में जाना गया। इस क्षेत्र में महत्वपूर्ण विषय थे कहीं अधिक सामान्य आंकड़ों के गुण जैसे कि सीधापन और लम्बाई एवं कोणीय मापों की सटीक गुणवत्ता जैसे गुणों की बजाय संयुक्तता और सीमाएं, जो यूक्लिडियन और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के केंद्र रहे थे। टोपोलॉजी जल्द ही ज्यामिति या विश्लेषण के एक उप-क्षेत्र की बजाय प्रमुख महत्व का एक अलग क्षेत्र बन गया।

20वीं सदी

बीजगणितीय ज्यामिति के विकास में परिमित क्षेत्रों पर वक्रों और सतहों के अध्ययन को शामिल किया गया था जैसा कि आंद्रे वील, एलेक्जेंडर ग्रोथेंडीक और जीन-पियरे सेरे सहित कई अन्य के कार्यों के साथ-साथ वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किये गए कार्यों द्वारा प्रदर्शित किया गया था। परिमित ज्यामिति स्वयं केवल परिमित कई बिन्दुओं, कोडिंग के सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी में पाए गए अनुप्रयोगों सहित विभिन्न अंतरिक्षों का अध्ययन था। कंप्यूटर के आगमन के साथ नए विषय जैसे कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति या डिजिटल ज्यामिति ज्यामितीय एल्गोरिदम, ज्यामितीय आंकड़ों के असतत प्रतिनिधित्व और इसी तरह के क्षेत्रों पर कार्य करते हैं।

इन्हें भी देखें

विकिस्रोत में इस लेख से संबंधित मूल पाठ उपलब्ध है:

Flatland

ज्यामितिक विषयों की सूची
ज्यामिति में प्रकाशित महत्वपूर्ण पुस्तकें
इंटरैक्टिव ज्यामिति सॉफ्टवेयर
गणित का इतिहास
फ़्लैटलैंड ; "A²" द्वारा लिखित पुस्तक; यह पुस्तक द्वि तथा त्रि-आयामी अंतरिक्ष के विषय में है और इसे चतुर्थ आयाम की अवधारणा को समझने के लिए लिखा गया था।

टिप्पणियां

↑ हावर्ड ईव्स, एन इंट्रोडक्शन टू दी हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स, सौन्डर्स, 1990, आईएसबीएन 0030295580 पी. 141: "नो वर्क, एक्सेप्ट दी बाइबल, हेज बीन मोर वाइड्ली यूज्ड......."
↑ ^अ ^आ रे सी. जॉरजेसेन, अल्फ्रेड जे. डॉनेली और मैरी पी. डोल्सियेनी. एडिटोरियल एडवाइजर्स एंड्रयू एम. ग्लेसन, अल्बर्ट अलबर्ट ई. मेडर, जूनियर मॉडर्न स्कूल मैथमेटिक्स: ज्योमेट्री (छात्र संस्करण) ह्यूटन मिफ्लिन कंपनी, बोस्टन, 1972, पी. 52. आईएसबीएन 0-395-13102-2. शिक्षक संस्करण आईएसबीएन 0-395-13103-0.
↑ ईव्स, अध्याय 2.
↑ ए. सिडेनबर्ग, 1978. गणित की उत्पत्ति. सटीक विज्ञान के इतिहास के लिए पुरालेख, वॉल्यूम 18.
↑ (Staal 1999)
↑ ^अ ^आ (Hayashi 2003, p. 118)
↑ ^अ ^आ (Hayashi 2005, p. 363)
↑ पायथागॉरियन ट्रिपल, निम्न गुण के साथ $(a,b,c)$ ट्रिपल्स के इंटीजर हैं: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . इस प्रकार, $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ , $8^{2}+15^{2}=17^{2}$ , $12^{2}+35^{2}=37^{2}$ आदि.
↑ (Cooke 2005, p. 198) "सुल्व सूत्र की अंकगणित सामग्री में पाईथोगोरियन ट्रिपल्स को खोजने के नियम शामिल हैं, जैसे कि (3,4,5), (5, 12 13), (8, 15, 17) और (12, 35, 37). यह निश्चित नहीं है कि इन अंकगणित नियमों का व्यावहारिक उपयोग क्या था। इसका सबसे अच्छा अनुमान यह है कि वे धार्मिक अनुष्ठान का हिस्सा थे। एक हिंदू घर में यह आवश्यक था कि तीन अलग-अलग वेदियों पर आग जलती रहे. तीनों वेदियों का आकार अलग-अलग होता था लेकिन तीनों का क्षेत्रफल समान होना चाहिए था। इन शर्तों के कारण कुछ "डायोफेंटाइन" समस्याएं पैदा हो गयीं; पायथागॉरियन ट्रिपल्स की उत्पत्ति इसका एक विशिष्ट उदाहरण है जहां एक स्क्वेर इंटीजर को अन्य दो के जोड़ के बराबर किया जाता है।"
↑ (Cooke 2005, pp. 199–200): "अलग अलग आकार, लेकिन बराबर क्षेत्रफल वाली तीन वेदियां की आवश्यकता, क्षेत्रफल के रूपांतरण में दिलचस्पी पर प्रकाश डाल सकती है। हिंदुओं द्वारा विचारी जाने वाली क्षेत्रफल के रूपांतरण की अन्य समस्याओं में विशेष रूप से शामिल है, चक्र को स्क्वेर में बदलने की समस्या. बोधयान सूत्र में इसकी विपरीत समस्या का जिक्र किया गया है, दिए गए स्क्वेर के बराबर के एक सर्किल का निर्माण करना. निम्नलिखित अनुमानित निर्माण को समाधान के रूप में दिया गया है।... इस परिणाम केवल अनुमानित है। हालांकि, लेखक दो परिणामों के बीच कोई फर्क नहीं करता है। इसको आसान तरीके से कहें तो, इसमें π के मान को (3 - √ 2 2) दिया गया है, जो लगभग 3.088 के बराबर बैठता है।"
↑ ^अ ^आ ^इ (Joseph 2000, p. 229)
↑ गणित विभाग, ब्रिटिश कोलंबिया यूनिवर्सिटी, दी बेबीलोनियन टेबल्ड प्लिम्पटन 322 Archived 2011-05-17 at the वेबैक मशीन.
↑ तीन पोजिटिव इंटीजर $(a,b,c)$ एक प्रिमिटिव पाइथागोरस ट्रिपल का निर्माण करेंगे यदि $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ हो और यदि $a,b,c$ का हाइएस्ट कॉमन फैक्टर 1 हो. विशेष प्लिम्पटन 322 उदाहरण में, इसका अर्थ है $13500^{2}+12709^{2}=18541^{2}$ ; और यह कि तीन नंबरों का कोई कॉमन फैक्टर नहीं है। हालांकि कुछ विद्वानों ने पाइथागोरस द्वारा इस टैबलेट की व्याख्या को नकार दिया है; विस्तृत विवरण के लिए Plimpton 322 देखें.
↑ ^अ ^आ (Dani 2003)
↑ (Hayashi 2005, p. 371)
↑ ^अ ^आ (Hayashi 2003, pp. 121–122)
↑ (Stillwell 2004, p. 77)
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↑ नीड्हेम, वॉल्यूम 3, 101.
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सन्दर्भ

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बाहरी कड़ियाँ

Geometry in Ancient and Medieval India (गूगल पुस्तक ; लेखिका- T. A. Sarasvati Amma)
ज्यामिति की कहानी (गूगल पुस्तक ; लेखक - गुणाकर मुळे)
इस्लामिक ज्योमेट्री^{[मृत कड़ियाँ]}
ज्योमेट्री इन दी 19थ सेंचुरी स्टेनफोर्ड एन्साइक्लोपीडिया ऑफ फिलॉसफी पर
अरेबिक मैथमेटिक्स: फोर्गोटें ब्रिलियेंस?

[1] हावर्ड ईव्स, एन इंट्रोडक्शन टू दी हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स, सौन्डर्स, 1990, आईएसबीएन 0030295580 पी. 141: "नो वर्क, एक्सेप्ट दी बाइबल, हेज बीन मोर वाइड्ली यूज्ड......."

[School_Mathematics-2] अ ^आ रे सी. जॉरजेसेन, अल्फ्रेड जे. डॉनेली और मैरी पी. डोल्सियेनी. एडिटोरियल एडवाइजर्स एंड्रयू एम. ग्लेसन, अल्बर्ट अलबर्ट ई. मेडर, जूनियर मॉडर्न स्कूल मैथमेटिक्स: ज्योमेट्री (छात्र संस्करण) ह्यूटन मिफ्लिन कंपनी, बोस्टन, 1972, पी. 52. आईएसबीएन 0-395-13102-2. शिक्षक संस्करण आईएसबीएन 0-395-13103-0.

[3] ईव्स, अध्याय 2.

[4] ए. सिडेनबर्ग, 1978. गणित की उत्पत्ति. सटीक विज्ञान के इतिहास के लिए पुरालेख, वॉल्यूम 18.

[5] (Staal 1999)

[hayashi2003-p118-6] अ ^आ (Hayashi 2003, p. 118)

[hayashi2005-p363-7] अ ^आ (Hayashi 2005, p. 363)

[8] पायथागॉरियन ट्रिपल, निम्न गुण के साथ $(a,b,c)$ ट्रिपल्स के इंटीजर हैं: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . इस प्रकार, $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ , $8^{2}+15^{2}=17^{2}$ , $12^{2}+35^{2}=37^{2}$ आदि.

[cooke198-9] (Cooke 2005, p. 198) "सुल्व सूत्र की अंकगणित सामग्री में पाईथोगोरियन ट्रिपल्स को खोजने के नियम शामिल हैं, जैसे कि (3,4,5), (5, 12 13), (8, 15, 17) और (12, 35, 37). यह निश्चित नहीं है कि इन अंकगणित नियमों का व्यावहारिक उपयोग क्या था। इसका सबसे अच्छा अनुमान यह है कि वे धार्मिक अनुष्ठान का हिस्सा थे। एक हिंदू घर में यह आवश्यक था कि तीन अलग-अलग वेदियों पर आग जलती रहे. तीनों वेदियों का आकार अलग-अलग होता था लेकिन तीनों का क्षेत्रफल समान होना चाहिए था। इन शर्तों के कारण कुछ "डायोफेंटाइन" समस्याएं पैदा हो गयीं; पायथागॉरियन ट्रिपल्स की उत्पत्ति इसका एक विशिष्ट उदाहरण है जहां एक स्क्वेर इंटीजर को अन्य दो के जोड़ के बराबर किया जाता है।"

[cooke199-200-10] (Cooke 2005, pp. 199–200): "अलग अलग आकार, लेकिन बराबर क्षेत्रफल वाली तीन वेदियां की आवश्यकता, क्षेत्रफल के रूपांतरण में दिलचस्पी पर प्रकाश डाल सकती है। हिंदुओं द्वारा विचारी जाने वाली क्षेत्रफल के रूपांतरण की अन्य समस्याओं में विशेष रूप से शामिल है, चक्र को स्क्वेर में बदलने की समस्या. बोधयान सूत्र में इसकी विपरीत समस्या का जिक्र किया गया है, दिए गए स्क्वेर के बराबर के एक सर्किल का निर्माण करना. निम्नलिखित अनुमानित निर्माण को समाधान के रूप में दिया गया है।... इस परिणाम केवल अनुमानित है। हालांकि, लेखक दो परिणामों के बीच कोई फर्क नहीं करता है। इसको आसान तरीके से कहें तो, इसमें π के मान को (3 - √ 2 2) दिया गया है, जो लगभग 3.088 के बराबर बैठता है।"

[joseph229-11] अ ^आ ^इ (Joseph 2000, p. 229)

[12] गणित विभाग, ब्रिटिश कोलंबिया यूनिवर्सिटी, दी बेबीलोनियन टेबल्ड प्लिम्पटन 322 Archived 2011-05-17 at the वेबैक मशीन.

[13] तीन पोजिटिव इंटीजर $(a,b,c)$ एक प्रिमिटिव पाइथागोरस ट्रिपल का निर्माण करेंगे यदि $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ हो और यदि $a,b,c$ का हाइएस्ट कॉमन फैक्टर 1 हो. विशेष प्लिम्पटन 322 उदाहरण में, इसका अर्थ है $13500^{2}+12709^{2}=18541^{2}$ ; और यह कि तीन नंबरों का कोई कॉमन फैक्टर नहीं है। हालांकि कुछ विद्वानों ने पाइथागोरस द्वारा इस टैबलेट की व्याख्या को नकार दिया है; विस्तृत विवरण के लिए Plimpton 322 देखें.

[dani-14] अ ^आ (Dani 2003)

[hayashi2005-371-15] (Hayashi 2005, p. 371)

[hayashi2003-p121-122-16] अ ^आ (Hayashi 2003, pp. 121–122)

[17] (Stillwell 2004, p. 77)

[needham_volume_3_91-18] अ ^आ नीड्हेम, वॉल्यूम 3, 91.

[needham_volume_3_92-19] अ ^आ ^इ नीड्हेम, वॉल्यूम 3, 92.

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[needham_volume_3_99-24] नीड्हेम, वॉल्यूम 3, 99.

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[needham_volume_3_100-28] नीड्हेम, वॉल्यूम 3, 100.

[needham_volume_3_98_99-29] अ ^आ ^इ नीड्हेम, वॉल्यूम 3, 98-99.

[needham_volume_3_98-30] नीड्हेम, वॉल्यूम 3, 98.

[31] आय्दीन साईली (1960). "थाबित इब्न कुर्राज़ द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण", इसीस 51 (1), पृष्ठ 35-37.

[Lu-32] Peter J. Lu and Paul J. Steinhardt (2007), "Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture" (PDF), Science, 315 (5815): 1106–1110, PMID 17322056, डीओआइ:10.1126/science.1135491, मूल (PDF) से 7 अक्तूबर 2009 को पुरालेखित, अभिगमन तिथि 2 मई 2011.

[33] "सप्लीमेंटल फिगर्स" (PDF). मूल (PDF) से 26 मार्च 2009 को पुरालेखित. अभिगमन तिथि 2 मई 2011.

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