टेलर श्रेणी

गणित में टेलर श्रेणी (Taylor series) एक श्रेणी है किसी फलन को अनन्त पदों के योग से निरूपित करती है। ये पद उस फलन के किसी बिन्दु पर अवकलों के मान से निकाले जाते हैं। इसे अंग्रेज गणितज्ञ ब्रूक टेलर ने १७७५ में दिया था।

परिचय

किसी वास्तविक मान वाले या समिश्र मान वाले फलन ƒ(x), जो अनन्त तक अवकलित किया जा सकता है, की किसी बिन्दु a पर टेलर श्रेणी निम्नलिखित घातांक श्रेणी (power series) द्वारा दी जाती है:

$f(a)+{\frac {f^{(1)}(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots ,$

इसे अधिक संक्षित रूप में इस प्रकार भी लिख सकते हैं

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.$

जहाँ n! का अर्थ n का फैक्टोरियल है; ƒ ⁽ⁿ⁾(a) का मतलब ƒ का बिन्दु a पर nवाँ अवकलज है। जब a=0 हो तो इस श्रेणी को मैक्लारिन्स श्रेणी कहते हैं।

उदाहरण

किसी बहुपद की मैक्लारिन्स श्रेणी स्वयं वह बहुपद ही है।

(1 − x)⁻¹ का x = 0 पर मैक्लारिन्स श्रेणी निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी होगी:

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!$

अतः x⁻¹ की बिन्दु a = 1 पर टेलर श्रेणी यह होगी:

$1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!$

उपरोक्त मैक्लारिन्स श्रेणी को समाकलित करने पर हमे log(1 − x) के लिए मैक्लारिन्स श्रेणी मिल जाएगी, जहाँ log से मतलब प्राकृतिक लघुगणक से है।

$-x-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}-\cdots \!$

इसी प्रकार, log(x) की बिन्दु a = 1 पर टेलर श्रेणी यह होगी:

$(x-1)-{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,\!$

अधिक व्यापक रूप में, फलन log(x) का किसी बिन्दु $a=x_{0}$ पर टेलय श्रेणी यह होगी:

$\log(x_{0})+{\frac {1}{x_{0}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}+\cdots .$

चरघातांकी फलन e^x के लिए बिन्दु a = 0 पर तेलर श्रेणी यह होगी:

$1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$

उपरोक्त प्रसार इस कारण सत्य है क्योंकि e^x का x के सापेक्ष अवकलज भी e^x ही है तथा e⁰ equals 1.

कुछ सामान्य फलनों के लिए मैक्लारिन श्रेणियाँ

The real part of the cosine function in the complex plane

An 8th-degree approximation of the cosine function in the complex plane

The two above curves put together

नीचे बहुत से महत्वपूर्ण मैक्लारिन श्रेणी प्रसार दिए गए हैं। ये सभी प्रसार समिश्र अर्गुमेन्ट x के लिए सत्य हैं (अतः वास्तविक के लिए भी सत्य हैं।)।

चरघातांकी फलन (Exponential function)

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \quad {\text{ for all }}x\!$

प्राकृतिक लघुगणक:

$\log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}\quad {\text{ for }}|x|<1$

$\log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\quad {\text{ for }}|x|<1$

गुणोत्तर श्रेणी :

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!$

द्विपद श्रेणी (Binomial series) (includes the square root for α = 1/2 and the infinite geometric series for α = −1):

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\text{ for all }}|x|<1{\text{ and all complex }}\alpha \!$

with generalized binomial coefficients

${\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$

Trigonometric functions:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \quad {\text{ for all }}x\!$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \quad {\text{ for all }}x\!$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots \quad {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\text{ for }}|x|\leq 1\!$

$\arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\text{ for }}|x|\leq 1\!$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\text{ for }}|x|\leq 1,x\not =\pm i\!$

Hyperbolic functions:

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad {\text{ for all }}x\!$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \quad {\text{ for all }}x\!$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots \quad {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\mathrm {arcsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\text{ for }}|x|\leq 1\!$

$\mathrm {arctanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\quad {\text{ for }}|x|\leq 1,x\not =\pm 1\!$

The numbers B_k appearing in the summation expansions of tan(x) and tanh(x) are the Bernoulli numbers. The E_k in the expansion of sec(x) are Euler numbers.

उपयोग

हम ट्रेलर सीरीज से किसी भी continuous फंक्शन को infinity तक expand कर सकते है।

इन्हें भी देखें

• टेलर प्रमेय
• मैक्लारिन श्रेणी